Pergunta 1 Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser integrada é

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Pergunta 1 Podemos calcular a integral de uma função diretamente se conhecemos a primitiva da função. No entanto nem sempre a função a ser integrada é uma função elementar ou uma combinação de funções elementares. Nesse caso, é preciso lançar mão de estratégias alternativas, como o uso de técnicas de integração. Utilizando as técnicas de integração, assinale a alternativa que apresenta integral fraction numerator ln left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction d x. a. fraction numerator ln squared left parenthesis x squared right parenthesis over denominator 2 end fraction plus C b. ln left parenthesis x right parenthesis plus C c. fraction numerator ln left parenthesis x squared right parenthesis over denominator 2 end fraction plus C d. fraction numerator ln left parenthesis 2 x right parenthesis over denominator 2 end fraction plus C e. fraction numerator ln squared left parenthesis x right parenthesis over denominator 2 end fraction plus C

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Para resolver a integral $\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx$, podemos usar a técnica de substituição.

Vamos fazer a substituição $u = \ln(x)$, o que implica que $du = \frac{1}{x} \, dx$ ou $dx = x \, du = e^u \, du$. Assim, a integral se transforma em:

$$
\int u \, du
$$

A integral de $u$ em relação a $u$ é:

$$
\frac{u^2}{2} + C
$$

Substituindo $u$ de volta, temos:

$$
\frac{(\ln(x))^2}{2} + C
$$

Agora, analisando as alternativas:

a) $\frac{\ln^2(x^2)}{2} + C$ - Esta opção é equivalente a $\frac{2\ln^2(x)}{2} + C$, que simplifica para $\ln^2(x) + C$, não é a correta.

b) $\ln(x) + C$ - Esta não é a integral correta.

c) $\frac{\ln(x^2)}{2} + C$ - Esta é equivalente a $\frac{2\ln(x)}{2} + C$, que simplifica para $\ln(x) + C$, não é a correta.

d) $\frac{\ln(2x)}{2} + C$ - Esta não é a integral correta.

e) $\frac{\ln^2(x)}{2} + C$ - Esta é a integral correta.

Portanto, a alternativa correta é: **e) $\frac{\ln^2(x)}{2} + C$**.

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