Determine a solução particular da equação diferencial s'' - 6s' +9s =0 que atenda a condição inicial s(0) = 2 e s' (0)=8

Para resolver a equação diferencial \( s'' - 6s' + 9s = 0 \), primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea. 1. Encontrar a equação característica: A equação característica é dada por: \[ r^2 - 6r + 9 = 0 \] Fatorando, temos: \[ (r - 3)^2 = 0 \] Portanto, \( r = 3 \) é uma raiz dupla. 2. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é: \[ s(t) = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \] onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes a serem determinadas. 3. Aplicar as condições iniciais: Temos as condições iniciais \( s(0) = 2 \) e \( s'(0) = 8 \). - Para \( s(0) = 2 \): \[ s(0) = C_1 e^{0} + C_2 \cdot 0 \cdot e^{0} = C_1 = 2 \] - Agora, precisamos calcular \( s'(t) \): \[ s'(t) = 3C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3C_2 t e^{3t} \] Substituindo \( t = 0 \): \[ s'(0) = 3C_1 + C_2 = 8 \] Substituindo \( C_1 = 2 \): \[ 3(2) + C_2 = 8 \implies 6 + C_2 = 8 \implies C_2 = 2 \] 4. Solução particular: Portanto, a solução particular que atende às condições iniciais é: \[ s(t) = 2 e^{3t} + 2t e^{3t} \] Essa é a solução que atende às condições iniciais dadas.