Determine os autovalores do sistema linear de equações { 8x-2y=0 2y+4x=3?

Para determinar os autovalores de um sistema linear de equações, primeiro precisamos representar o sistema na forma de uma matriz. O sistema dado é: 1. \( 8x - 2y = 0 \) 2. \( 4x + 2y = 3 \) Podemos reescrever isso na forma de matriz \( A \) e vetor \( b \): \[ A = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \] Para encontrar os autovalores, precisamos calcular o determinante da matriz \( A - \lambda I \), onde \( I \) é a matriz identidade e \( \lambda \) é o autovalor. \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 8 - \lambda & -2 \\ 4 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \] O determinante é dado por: \[ \text{det}(A - \lambda I) = (8 - \lambda)(2 - \lambda) - (-2)(4) \] Calculando o determinante: \[ = (8 - \lambda)(2 - \lambda) + 8 \] \[ = 16 - 10\lambda + \lambda^2 + 8 \] \[ = \lambda^2 - 10\lambda + 24 \] Agora, para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero: \[ \lambda^2 - 10\lambda + 24 = 0 \] Usamos a fórmula de Bhaskara: \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 1, b = -10, c = 24 \). Calculando: \[ \lambda = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} \] \[ = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ = \frac{10 \pm 2}{2} \] Assim, temos: \[ \lambda_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad \lambda_2 = \frac{8}{2} = 4 \] Portanto, os autovalores do sistema são \( \lambda_1 = 6 \) e \( \lambda_2 = 4 \).