Determine a equação da reta que passa pelo ponto de intersercção das retas r: 3x + 5y = 0 e s:2x + y + 7 = 0 e que é paralela a reta r: y = - 3x + 1

Para determinar a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas \( r: 3x + 5y = 0 \) e \( s: 2x + y + 7 = 0 \) e que é paralela à reta \( r: y = -3x + 1 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o ponto de interseção das retas \( r \) e \( s \): - Da equação \( r: 3x + 5y = 0 \), podemos expressar \( y \) em função de \( x \): \[ 5y = -3x \implies y = -\frac{3}{5}x \] - Substituindo \( y \) na equação da reta \( s \): \[ 2x + \left(-\frac{3}{5}x\right) + 7 = 0 \] \[ 2x - \frac{3}{5}x + 7 = 0 \] \[ \left(2 - \frac{3}{5}\right)x + 7 = 0 \] \[ \left(\frac{10}{5} - \frac{3}{5}\right)x + 7 = 0 \] \[ \frac{7}{5}x + 7 = 0 \] \[ \frac{7}{5}x = -7 \implies x = -5 \] - Agora, substituímos \( x = -5 \) na equação de \( r \) para encontrar \( y \): \[ 3(-5) + 5y = 0 \implies -15 + 5y = 0 \implies 5y = 15 \implies y = 3 \] - O ponto de interseção é \( (-5, 3) \). 2. Encontrar a equação da reta paralela a \( r: y = -3x + 1 \): - A inclinação da reta \( r \) é \( -3 \). Portanto, a reta que queremos também terá essa inclinação. - Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] onde \( (x_0, y_0) = (-5, 3) \) e \( m = -3 \): \[ y - 3 = -3(x + 5) \] \[ y - 3 = -3x - 15 \] \[ y = -3x - 12 \] Portanto, a equação da reta que passa pelo ponto de interseção e é paralela à reta \( r \) é: \[ y = -3x - 12 \]