use o método de eliminação de gauss- jordan ou a regra de cramer e determine a solução do sistema 2x -y-Z = 2 ; X+Y - 2Z = 1 ; z+2y + z = 9

Vamos resolver o sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos organizar as equações: 1. \( 2x - y - z = 2 \) (Equação 1) 2. \( x + y - 2z = 1 \) (Equação 2) 3. \( z + 2y + z = 9 \) (Equação 3) → Simplificando, temos \( 2z + 2y = 9 \) ou \( y + z = 4.5 \) (Equação 3 simplificada) Agora, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada: \[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 2 & | & 9 \end{bmatrix} \] Agora, vamos aplicar o método de eliminação de Gauss-Jordan: 1. Primeiro, vamos fazer a primeira linha ter um 1 na primeira coluna. Para isso, podemos trocar a linha 1 pela linha 2: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 2 & 2 & | & 9 \end{bmatrix} \] 2. Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha). Para isso, fazemos \( L_2 - 2L_1 \): \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 2 & 2 & | & 9 \end{bmatrix} \] 3. Agora, vamos fazer a segunda linha ter um 1 na segunda coluna. Multiplicamos a linha 2 por \(-\frac{1}{3}\): \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 2 & 2 & | & 9 \end{bmatrix} \] 4. Agora, vamos zerar os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna. Para isso, fazemos \( L_3 - 2L_2 \) e \( L_1 - L_2 \): \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 9 \end{bmatrix} \] 5. Agora, vamos fazer a terceira linha ter um 1 na terceira coluna. Dividimos a linha 3 por 4: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{9}{4} \end{bmatrix} \] 6. Agora, vamos zerar os elementos acima do pivô na terceira coluna. Fazemos \( L_1 + L_3 \) e \( L_2 + L_3 \): \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{13}{4} \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{9}{4} \end{bmatrix} \] Agora, temos a solução do sistema: - \( x = \frac{13}{4} \) - \( y = -\frac{9}{4} \) - \( z = \frac{9}{4} \) Portanto, a solução do sistema é: \[ x = \frac{13}{4}, \quad y = -\frac{9}{4}, \quad z = \frac{9}{4} \]