Determine o valor da constante k para que os vetores u -> {u} (3, 4, -5) e v -> (5k + 2,1,7 -k) sejam ortogonais

Para que os vetores \( \mathbf{u} = (3, 4, -5) \) e \( \mathbf{v} = (5k + 2, 1, 7 - k) \) sejam ortogonais, o produto escalar deles deve ser igual a zero. O produto escalar é dado por: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3(5k + 2) + 4(1) + (-5)(7 - k) \] Calculando isso, temos: \[ 3(5k + 2) + 4(1) - 5(7 - k) = 0 \] Expandindo: \[ 15k + 6 + 4 - 35 + 5k = 0 \] Simplificando: \[ 20k - 25 = 0 \] Resolvendo para \( k \): \[ 20k = 25 \\ k = \frac{25}{20} \\ k = \frac{5}{4} \] Portanto, o valor da constante \( k \) para que os vetores sejam ortogonais é \( k = \frac{5}{4} \).