Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p'(x) = 3x2 + 2bx + c. Se p'(1) = 0, p'(-1) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2, então o polinômio p(x) é:
a) x3 - x2 + x + 1.
b) x3 - x2 - x + 3.
c) x3 - x2 - x - 3.
d) x3 - x2 - 2x + 4.
e) x3 - x2 - x + 2.
f) Não sei.

Question

Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p'(x) = 3x2 + ...

Ed · Answer

Vamos analisar as informações dadas e as opções para encontrar o polinômio $ p(x) $.

1. **Derivada do polinômio**: Temos $ p'(x) = 3x^2 + 2bx + c $.
2. **Condições dadas**:
   - $ p'(1) = 0 $
   - $ p'(-1) = 4 $
   - O resto da divisão de $ p(x) $ por $ x - 1 $ é 2, ou seja, $ p(1) = 2 $.

Vamos usar essas informações para encontrar $ b $ e $ c $.

### Passo 1: Usar $ p'(1) = 0 $
Substituindo $ x = 1 $ na derivada:
$$
p'(1) = 3(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \implies 3 + 2b + c = 0 \implies c = -3 - 2b \quad (1)
$$

### Passo 2: Usar $ p'(-1) = 4 $
Substituindo $ x = -1 $ na derivada:
$$
p'(-1) = 3(-1)^2 + 2b(-1) + c = 4 \implies 3 - 2b + c = 4 \implies c = 1 + 2b \quad (2)
$$

### Passo 3: Igualar as expressões para $ c $
Igualando as duas expressões para $ c $:
$$
-3 - 2b = 1 + 2b
$$
Resolvendo:
$$
-3 - 1 = 2b + 2b \implies -4 = 4b \implies b = -1
$$

### Passo 4: Encontrar $ c $
Substituindo $ b = -1 $ na equação (1):
$$
c = -3 - 2(-1) = -3 + 2 = -1
$$

### Passo 5: Usar $ p(1) = 2 $
Agora, sabemos que $ b = -1 $ e $ c = -1 $. O polinômio é:
$$
p(x) = x^3 - x^2 - x + d
$$
Substituindo $ x = 1 $:
$$
p(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + d = 2 \implies 1 - 1 - 1 + d = 2 \implies d = 3
$$

### Passo 6: Montar o polinômio
Assim, temos:
$$
p(x) = x^3 - x^2 - x + 3
$$

### Conclusão
A alternativa correta é:
b) $ x^3 - x^2 - x + 3 $.

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O polinômio P(x) = a x3 + 2 x + b é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) -1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e -12.
f) Não sei.

Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 - 5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
f) Não sei.

Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma , onde n é um número natural, pode se afirmar que:
a) 1 ≤ n < 5
b) 6 ≤ n < 10
c) 10 ≤ n < 15
d) 15 ≤ n < 20
e) 20 ≤ n < 30
f) Não sei.

Seja p(x) um polinômio divisível por x - 3. Dividindo p(x) por x - 1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da divisão de q(x) por x - 3 é:
a) -5
b) -3
c) 0
d) 3
e) 5
f) Não sei.

Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:
a) P(0) = 4
b) P(0) = 3
c) P(0) = 93
d) P(0) = 2
e) nenhuma das respostas anteriores.
f) Não sei.

Dividindo o polinômio P(x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz
a) Q(2) = 0
b) Q(3) = 0
c) Q(0) ≠ 0
d) Q(1) ≠ 0
e) nenhuma das anteriores.
f) Não sei.

O polinômio f(x) = x5 - x3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) = x3 - 3x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é
a) -10.
b) -4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
f) Não sei.

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O polinômio P(x) = a x3 + 2 x + b é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, sãoa) 1 e 4.b) 1 e 12.c) -1 e 12.d) 2 e 16.e) 1 e -12.f) Não sei.

Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 - 5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio valea) 5.b) 4.c) 3.d) 2.e) 1.f) Não sei.

Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma , onde n é um número natural, pode se afirmar que:a) 1 ≤ n < 5b) 6 ≤ n < 10c) 10 ≤ n < 15d) 15 ≤ n < 20e) 20 ≤ n < 30f) Não sei.

Seja p(x) um polinômio divisível por x - 3. Dividindo p(x) por x - 1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da divisão de q(x) por x - 3 é:a) -5b) -3c) 0d) 3e) 5f) Não sei.

Seja f uma função real tal que f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, para todo x real, onde a, b, c, d são números reais. Se f(x) = 0 para todo x do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, temos, então, que:a) f(6) = a + 1b) f(6) = a + 2c) f(6) = a + 3d) f(6) = de) nenhuma das afirmacoes acima é válida.f) Não sei.

Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:a) P(0) = 4b) P(0) = 3c) P(0) = 93d) P(0) = 2e) nenhuma das respostas anteriores.f) Não sei.

Dividindo o polinômio P(x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaza) Q(2) = 0b) Q(3) = 0c) Q(0) ≠ 0d) Q(1) ≠ 0e) nenhuma das anteriores.f) Não sei.

O polinômio f(x) = x5 - x3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) = x3 - 3x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) éa) -10.b) -4.c) 0.d) 4.e) 10.f) Não sei.

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O polinômio P(x) = a x3 + 2 x + b é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) -1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e -12.
f) Não sei.

Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 - 5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
f) Não sei.

Considere o polinômio 5x3 – 3x2 – 60x + 36 = 0. Sabendo que ele admite uma solução da forma , onde n é um número natural, pode se afirmar que:
a) 1 ≤ n < 5
b) 6 ≤ n < 10
c) 10 ≤ n < 15
d) 15 ≤ n < 20
e) 20 ≤ n < 30
f) Não sei.

Seja p(x) um polinômio divisível por x - 3. Dividindo p(x) por x - 1 obtemos quociente q(x) e resto r=10. O resto da divisão de q(x) por x - 3 é:
a) -5
b) -3
c) 0
d) 3
e) 5
f) Não sei.

Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:
a) P(0) = 4
b) P(0) = 3
c) P(0) = 93
d) P(0) = 2
e) nenhuma das respostas anteriores.
f) Não sei.

Dividindo o polinômio P(x) = x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz
a) Q(2) = 0
b) Q(3) = 0
c) Q(0) ≠ 0
d) Q(1) ≠ 0
e) nenhuma das anteriores.
f) Não sei.

O polinômio f(x) = x5 - x3 + x2 + 1, quando dividido por q(x) = x3 - 3x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é
a) -10.
b) -4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
f) Não sei.