Para calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores \( \mathbf{u} = (3, 1, 2) \) e \( \mathbf{v} = (4, -1, 0) \), precisamos usar o módulo do produto vetorial entre os dois vetores. O produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) é dado pela seguinte fórmula: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \] Calculando cada um dos determinantes: 1. Para \( \mathbf{i} \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (2 \cdot -1) = 0 + 2 = 2 \] 2. Para \( \mathbf{j} \): \[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = (3 \cdot 0) - (2 \cdot 4) = 0 - 8 = -8 \] 3. Para \( \mathbf{k} \): \[ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (3 \cdot -1) - (1 \cdot 4) = -3 - 4 = -7 \] Portanto, temos: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 7\mathbf{k} \] Agora, o módulo do vetor resultante é: \[ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + 8^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 64 + 49} = \sqrt{117} \] A área do paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial: \[ \text{Área} = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{117} \approx 10,82 \] Assim, a alternativa correta é: a) Aproximadamente 10,8.