Para aplicar a Decomposição de Cholesky à matriz simétrica \( A \), precisamos encontrar uma matriz triangular inferior \( L \) tal que \( A = L L^T \). A matriz \( A \) dada é: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 11 & -3 \\ -2 & -3 & 11 \end{pmatrix} \] A Decomposição de Cholesky envolve calcular os elementos da matriz \( L \) da seguinte forma: 1. O primeiro elemento \( L_{11} \) é dado por \( L_{11} = \sqrt{A_{11}} = \sqrt{3} \). 2. O segundo elemento \( L_{21} \) é dado por \( L_{21} = \frac{A_{21}}{L_{11}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). 3. O segundo elemento \( L_{22} \) é dado por \( L_{22} = \sqrt{A_{22} - L_{21}^2} = \sqrt{11 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{11 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} \). 4. O terceiro elemento \( L_{31} \) é dado por \( L_{31} = \frac{A_{31}}{L_{11}} = \frac{-2}{\sqrt{3}} \). 5. O terceiro elemento \( L_{32} \) é dado por \( L_{32} = \frac{A_{32} - L_{31} L_{21}}{L_{22}} \). Agora, vamos calcular \( L_{32} \): \[ L_{32} = \frac{-3 - \left(-\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{L_{22}} = \frac{-3 + \frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{32}{3}}} = \frac{-\frac{9}{3} + \frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{32}{3}}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{32}{3}}} \] Simplificando isso, obtemos: \[ L_{32} = -\frac{7}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{32}} = -\frac{7\sqrt{3}}{3\sqrt{32}} = -\frac{7\sqrt{3}}{12\sqrt{2}} \approx -2,857 \] Portanto, o elemento na posição (3,2) da matriz \( L \) é aproximadamente \( -2,857 \). A alternativa correta é: e) \( L_{32} \approx -2,857 \).