Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = 0,5y \) usando o Método do Ponto Médio (ou Runge-Kutta de 2ª ordem) com o valor inicial \( y(0) = 1 \) no intervalo \( t \in [0, 1] \) e passo \( dt = 0,5 \), seguimos os seguintes passos: 1. Definindo os parâmetros: - \( y_0 = 1 \) (valor inicial) - \( t_0 = 0 \) - \( dt = 0,5 \) 2. Calculando \( y_{1/2} \): - Primeiro, calculamos \( t_{1/2} = t_0 + \frac{dt}{2} = 0 + 0,25 = 0,25 \). - Usamos a fórmula do Método do Ponto Médio: \[ k_1 = f(t_0, y_0) = 0,5y_0 = 0,5 \cdot 1 = 0,5 \] \[ y_{1/2} = y_0 + \frac{dt}{2} k_1 = 1 + 0,25 \cdot 0,5 = 1 + 0,125 = 1,125 \] 3. Calculando \( y_1 \): - Agora, calculamos \( k_2 \): \[ k_2 = f(t_{1/2}, y_{1/2}) = 0,5y_{1/2} = 0,5 \cdot 1,125 = 0,5625 \] - Usamos \( k_2 \) para calcular \( y_1 \): \[ y_1 = y_0 + dt \cdot k_2 = 1 + 0,5 \cdot 0,5625 = 1 + 0,28125 = 1,28125 \] Portanto, os valores calculados são: - \( y_{1/2} = 1,125 \) - \( y_1 = 1,28125 \) Esses são os resultados que você pode usar para a sua questão!