Vamos resolver a primeira parte da sua pergunta, que envolve a integral indefinida. A função dada é \( f(x) = \int (3x^2 + 10x) \, dx \). Para calcular a integral, vamos integrar cada termo separadamente: 1. A integral de \( 3x^2 \) é \( x^3 \) (usando a regra da potência). 2. A integral de \( 10x \) é \( 5x^2 \). Portanto, a integral indefinida é: \[ f(x) = x^3 + 5x^2 + C \] onde \( C \) é a constante de integração. Analisando as alternativas: a) \( f(x) = x^3 + 5x^2 + C \) - Correta. b) \( f(x) = 6x + 10 \) - Incorreta. c) \( f(x) = x^3 + 5x^2 \) - Incorreta (falta a constante \( C \)). d) \( f(x) = 6x + 10 + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( f(x) = x^3 + 5x^2 + C \). Agora, sobre a segunda parte da sua pergunta, que envolve a soma de dois números inteiros positivos que é igual a 80, e queremos maximizar o produto entre esses dois números. Se chamarmos os dois números de \( x \) e \( 80 - x \), o produto \( P \) é dado por: \[ P = x(80 - x) = 80x - x^2 \] Para maximizar \( P \), podemos derivar e igualar a zero: \[ \frac{dP}{dx} = 80 - 2x = 0 \] \[ 2x = 80 \] \[ x = 40 \] Assim, os dois números são 40 e 40, e o produto máximo é: \[ P = 40 \times 40 = 1600 \] Analisando as alternativas: a) 700 - Incorreta. b) 1500 - Incorreta. Parece que não há uma opção correta listada. O produto máximo é 1600. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!