Como calcular a integral

Vai precisar fazer por substituição Integral u.dv = u.v - integral v.du

u = e^-2x    du = - 2e^-2x dx

dv = sen x dx     v = - cos x

integral da função será = e^-2x . (- cos x) - integral ( - cos x ) . ( -2e^-2x) dx

arrumando essa zoeira, temos

= - e^-2x.cosx - 2. integral e^-2x.cosx.dx

aplicando novamente essa zoeira para a integral que está em negrito, temos

u = e^-2x    du= -2e^-2x

v = sen x      dv = cos x

aí arrumamos pra ficar maior e mais cansativo

integral que você quer é = - e^-2x.cosx - 2. ( e^-2x.sen x - ( -2. integral e^-2x.sen x dx))

para então simplificar e ficar menos estranha a leitura

integral que você quer é = -e^-2x.cos x - 2.( e^-2x. sen x + 2. integral e^-2x.sen x dx)

isolando a integral e^-2x.sen x dx e colocando em evidência e^-2x, fica

-1/5 e^-2x (2senx + cosx) + C

\(\[\begin{align} & Temos:\int{[{{e}^{(-2x)}}]senxdx} \\ & v={{e}^{(-2x)}} \\ & du=sen\left( x \right) \\ & \text{Portanto:} \\ & \int{[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx=u.v-?{v}'.u.dx} \\ & \int{[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx=-cos(x).{{e}^{(-2x)}}-?(-cos(x)).(-2).({{e}^{(-2x)}})dx} \\ & \int{[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx=-cos(x).{{e}^{(-2x)}}-2?cos(x).{{e}^{(-2x)}}dx\to (A)} \\ & Aplicando\text{ integral por partes:} \\ & -2\int{{}}cos(x).{{e}^{(-2x)}}dx \\ & a={{e}^{(-2x)}} \\ & db=\text{ }cos\left( x \right) \\ & -2\int{cos(x).{{e}^{(-2x)}}dx}=a.b-\int{{a}'.b.dx} \\ & -2\int{cos(x).{{e}^{(-2x)}}dx}=-2sen(x).{{e}^{(-2x)}}+2\int{sen(x).(-2).{{e}^{(-2x)}}.dx} \\ & -2\int{cos(x).{{e}^{(-2x)}}dx}=-2sen(x).{{e}^{(-2x)}}-4\int{sen(x).{{e}^{(-2x)}}.dx\to (B)} \\ & \text{Substituindo em (A):} \\ & \int{{}}[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx=-cos(x).{{e}^{(-2x)}}-2sen(x).{{e}^{(-2x)}}-4\int{{}}sen(x).{{e}^{(-2x)}}.dx \\ & \int{{}}[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx+-4\int{{}}sen(x).{{e}^{(-2x)}}.dx=-cos(x).{{e}^{(-2x)}}-2sen(x).{{e}^{(-2x)}} \\ & 5\int{{}}[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx=-{{e}^{(-2x)}}.(cos(x)+2sen(x)) \\ & \int{[{{e}^{(-2x)}}]sen(x)dx\text{ }Logo\to (\frac{1}{5})(-{{e}^{(-2x)}}.(cos(x)+2sen(x)))+c} \\ \end{align}\] \)