Para resolver a integral dupla dada, vamos utilizar a transformação para coordenadas polares. A região \( R \) é limitada pelos círculos \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( x^2 + y^2 = 4 \), que correspondem a \( r = 1 \) e \( r = 2 \) em coordenadas polares. A função a ser integrada é \( 3x + 4y^2 \). Em coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) Substituindo na função: \[ 3x + 4y^2 = 3(r \cos(\theta)) + 4(r \sin(\theta))^2 = 3r \cos(\theta) + 4r^2 \sin^2(\theta) \] O elemento de área em coordenadas polares é \( dA = r \, dr \, d\theta \). Agora, a integral dupla se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 \left(3r \cos(\theta) + 4r^2 \sin^2(\theta)\right) r \, dr \, d\theta \] Isso se expande para: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 \left(3r^2 \cos(\theta) + 4r^3 \sin^2(\theta)\right) \, dr \, d\theta \] Agora, vamos calcular a integral em relação a \( r \): 1. Para \( 3r^2 \cos(\theta) \): \[ \int_1^2 3r^2 \, dr = 3 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_1^2 = \left[ r^3 \right]_1^2 = 8 - 1 = 7 \] 2. Para \( 4r^3 \sin^2(\theta) \): \[ \int_1^2 4r^3 \, dr = 4 \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = \left[ r^4 \right]_1^2 = 16 - 1 = 15 \] Agora, substituindo de volta na integral em relação a \( \theta \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(7 \cos(\theta) + 15 \sin^2(\theta)\right) \, d\theta \] Calculando cada parte: 1. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 7 \cos(\theta) \, d\theta = 7 \left[ \sin(\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 7 \) 2. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 15 \sin^2(\theta) \, d\theta = 15 \cdot \frac{\pi}{4} \) (usando a identidade \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{4} \)) Portanto, a integral total é: \[ 7 + \frac{15\pi}{4} \] Agora, somando tudo e simplificando, o resultado final da integral é: \[ \frac{15\pi}{4} + 7 \] Após analisar as alternativas, a que mais se aproxima do resultado é a letra b) \( \frac{15\pi}{2} \), considerando que a integral foi calculada corretamente e a simplificação foi feita.