Para calcular a integral dupla da função \( f(x, y) = xy^2 \) sobre a região \( R \) delimitada por \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq x \), vamos aplicar o Teorema de Fubini. Primeiro, precisamos definir a integral dupla: \[ \iint_R f(x, y) \, dA = \int_0^1 \int_0^x xy^2 \, dy \, dx \] Agora, vamos calcular a integral interna: 1. Integral em relação a \( y \): \[ \int_0^x xy^2 \, dy = x \int_0^x y^2 \, dy \] A integral de \( y^2 \) é: \[ \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \] Portanto, avaliando de \( 0 \) a \( x \): \[ \int_0^x y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^x = \frac{x^3}{3} \] Assim, temos: \[ \int_0^x xy^2 \, dy = x \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^4}{3} \] 2. Integral em relação a \( x \): Agora, substituímos isso na integral externa: \[ \int_0^1 \frac{x^4}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int_0^1 x^4 \, dx \] A integral de \( x^4 \) é: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] Portanto, avaliando de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5} \] Assim, temos: \[ \int_0^1 \frac{x^4}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \] Portanto, o valor da integral dupla é: \[ \iint_R f(x, y) \, dA = \frac{1}{15} \] Se você tiver as alternativas, posso confirmar qual é a correta!