Determine o gradiente da função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z no ponto P(1, 1, 2) Fórmulas Utilizadas: ∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Para determinar o gradiente da função \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z \) no ponto \( P(1, 1, 2) \), precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a \( x \), \( y \) e \( z \). 1. Cálculo das derivadas parciais: - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \) - \( \frac{\partial f}{\partial z} = -2 \) 2. Avaliação das derivadas parciais no ponto \( P(1, 1, 2) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(1, 1, 2)} = 2(1) = 2 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(1, 1, 2)} = 2(1) = 2 \) - \( \frac{\partial f}{\partial z} \bigg|_{(1, 1, 2)} = -2 \) 3. Formação do gradiente: - O gradiente \( \nabla f \) é dado por: \[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k} \] - Portanto, no ponto \( P(1, 1, 2) \): \[ \nabla f(1, 1, 2) = 2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} - 2 \mathbf{k} \] Assim, o gradiente da função \( f \) no ponto \( P(1, 1, 2) \) é: \[ \nabla f(1, 1, 2) = (2, 2, -2) \]