Para encontrar o volume do sólido, devemos realizar os seguintes cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V=\pi \int_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{(f(x))}^{2}}-{{(g(x))}^{2}}}dx \\ & V=\pi \int_{-1}^{2}{{{(x+2)}^{2}}-{{(x)}^{2}}}dx \\ & V=\pi \int_{-1}^{2}{({{x}^{2}}+4x+4-{{x}^{4}})}dx \\ & V=\pi \left( 4x+2{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right)_{-1}^{2} \\ & V=\pi \left( \frac{184}{15}+\frac{32}{15} \right) \\ & V=\frac{75\pi }{5} \\ \end{align}\)

Portanto, o volume do sólido será \(\boxed{V = \frac{{75\pi }}{5}}\).