Podem me ajudar a resolver este problema por favor? Verificar se são colineares os pontos de coordenadas: A1 (-1,-5,0); A2 (2,1,3); A3 (-2,-7,-1).

Oi Bia! 

Se o vetor A1A2 = (x1, y1, z1) e o vetor A1A3 = (x2, y2, z2) são vetores do espaço, então A1A3 é múltiplo de A1A2 se, e somente se, y1x2 − x1y2 = x2z1 − x1z2 = y2z1 − y1z2 = 0. Condição essa de ser múltiplo que define se tais pontos são colineares. Se a operação feita der igual a zero os pontos são colineares. Se der diferente de zero, não. Pois bem, vamos a sua questão:

O vetor A1A2 fica: A2 - A1 = [2-(-1), 1-(-5), 3-0] = (3, 6, 3).

O vetor A1A3 fica: A3 - A1 = [-2-(-1), (-7)-(-5), (-1)-0] = (-1, -2, -1).

Comparando agora para encontrar as incognitas x1, y1, z1, x2, y2, z2, temos:

A1A2 = (x1, y1, z1) = (3, 6, 3), logo: x1 = 3, y1 = 6 e z1 = 3.

A1A3 = (x2, y2, z2) = (-1, -2, -1), logo: x2 = -1, y2 = -2 e z2 = -1.

Substituindo em y1x2 − x1y2 = x2z1 − x1z2 = y2z1 − y1z2 = 0, fica:

6*(-1) - 3*(-2) = (-1)*3 - 3*(-1) = (-2)*3 - 6*(-1) = 0

-6+6 = -3+3 = -6+6 = 0

0 = 0 = 0 = 0

Portanto, tais pontos são colineares.

Espero que você tenha compreendido. Abraço. Eng Mec - UFPI. 

Para saber se os pontos são colineares, basta calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for zero, os pontos são colineares!

\(DetM= \begin{bmatrix} -1 & -5 & 0 \\[0.3em] 2&1&3 \\[0.3em] -2&-7&-1 \end{bmatrix}\\ DetM=1+30+0-(0+21+10)\\ DetM=31-31=0\)

Logo, os pontos A1,A2 e A3 são colineares!