A função dada é f(x,y) = ln(x² + e^(xy²)). Queremos calcular a segunda derivada parcial em relação a x, ou seja, ∂²f/∂x². Passo 1: Calcular ∂f/∂x. f(x,y) = ln(u), onde u = x² + e^(xy²). Então, ∂f/∂x = (1/u) * ∂u/∂x. Calcular ∂u/∂x: ∂u/∂x = 2x + e^(xy²) * ∂(xy²)/∂x = 2x + e^(xy²) * y². Logo, ∂f/∂x = (2x + y² e^(xy²)) / (x² + e^(xy²)). Passo 2: Calcular ∂²f/∂x² = ∂/∂x (∂f/∂x). Derivando a fração pelo quociente: Seja g(x) = 2x + y² e^(xy²), h(x) = x² + e^(xy²). Então, ∂²f/∂x² = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]². Calcular g'(x): g'(x) = 2 + y² * e^(xy²) * ∂(xy²)/∂x = 2 + y² * e^(xy²) * y² = 2 + y^4 e^(xy²). Calcular h'(x): h'(x) = 2x + e^(xy²) * y². Agora, substituindo: ∂²f/∂x² = [ (2 + y^4 e^(xy²)) * (x² + e^(xy²)) - (2x + y² e^(xy²)) * (2x + y² e^(xy²)) ] / (x² + e^(xy²))². Essa expressão é complexa, mas o importante é que a segunda derivada parcial não é simplesmente -1/x² + e^x nem as outras opções simplificadas. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde exatamente a essa derivada. Portanto, você tem que criar uma nova pergunta com as alternativas corretas e completas para que eu possa ajudar melhor.