Fundamentos Analise em Matemática AS IV

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Fundamentos Analise em Matemática AS IV
Questão 1
	Sejam os segmentos AB e CD. Existem dois números naturais n e m tais que:
nAB = mCD.
Considere as seguintes afirmações:
I. O segmento AB é congruente ao segmento CD.
II. Seja EF um segmento tal que CD = nEF. Se a medida de EF é 1, então:
a. a medida de CD é n;
b. a medida de AB é m.
Assinale a alternativa CORRETA:
		Resposta Selecionada:
	d. 
 Apenas as afirmações I e IIa estão corretas.
	Resposta Correta:
	c. 
Apenas as afirmações IIa e IIb estão corretas.
Questão 2
	Considere o conceito de número real positivo como o número que representa a medida de um segmento.
Sobre esse conceito, são feitas as seguintes afirmações:
I. Os números inteiros positivos representam medidas de segmentos que são múltiplos do segmento unitário, isto é, correspondem a um certo número de cópias adjacentes da unidade.
II. Os números positivos com parte decimal não nula e finita representam medidas de segmentos comensuráveis com submúltiplos da unidade.
III. As dízimas periódicas positivas representam medidas de segmentos incomensuráveis com a unidade.
Assinale a alternativa CORRETA:
		Resposta Selecionada:
	c. 
Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
	Resposta Correta:
	c. 
Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
	Feedback da resposta:
	
Questão 3
	A descoberta dos segmentos incomensuráveis criou um problema para os matemáticos da antiguidade: o que significavam as razões entre segmentos incomensuráveis. A Teoria das Proporções de Eudoxo forneceu um meio de trabalhar com essas razões sem precisar associar a elas um número.
É CORRETO afirmar que:
		Resposta Selecionada:
	b.
A proposta de Eudoxo divide as frações em dois grupos, aquelas que são menores do que a razão entre os segmentos e aquelas que são maiores ou iguais a essa razão.
	Resposta Correta:
	b.
A proposta de Eudoxo divide as frações em dois grupos, aquelas que são menores do que a razão entre os segmentos e aquelas que são maiores ou iguais a essa razão.
	Feedback da resposta:
	A alternativa (a) está incorreta, pois a proposta de Eudoxo vale para qualquer segmento. A alternativa (b) está incorreta, pois não tem sentido colocar na discussão a metade da razão. A alternativa (c) está incorreta, pois a proposta de Eudoxo justamente visa a permitir lidar com as situações em que não é possível medir os segmentos por eles não serem comensuráveis. A alternativa (d) é absurda, pois a proposta de Dedekind foi realizada aprox. 2300 anos depois da proposta de Eudoxo. A alternativa correta é a (e); basta compará-la com o que está escrito no início do item sobre Cortes de Dedekind.
Questão 4
	O processo de medida de segmentos pode ser descrito por operações bem definidas, que podem ser feitas com um compasso e uma régua não graduada.
Considere as seguintes afirmações sobre esse processo:
I. O uso do compasso permite replicar tantas vezes quantas sejam necessárias a unidade de medida sobre o segmento que está sendo medido.
II. Se for necessário usar uma unidade de medida menor, essa unidade de medida pode ser obtida com auxílio da régua e do compasso, por meio da aplicação do Teorema de Tales na divisão da unidade em partes iguais.
III. Esses dois aspectos garantem que seja possível sempre encontrar um submúltiplo da unidade que caiba um número exato de vezes no segmento medido.
Assinale a alternativa CORRETA:
		Resposta Selecionada:
	c. 
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
	Resposta Correta:
	c. 
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
	Feedback da resposta:
	A afirmação I está correta, pois com o auxílio do compasso podemos transportar para o segmento medido tantas cópias quantas sejam necessárias do segmento unitário. A afirmação II está correta, pois de fato o Teorema de Tales fundamenta o procedimento de obtenção de um submúltiplo da unidade, ao indicar que segmentos definidos por retas paralelas ao cruzarem duas transversais são proporcionais. A afirmação III está incorreta, pois submúltiplos obtidos por meio do Teorema de Tales são sempre comensuráveis com a unidade, por construção. Logo, não poderão ser usados para medir segmentos não comensuráveis com a unidade.
Questão 5
	Considere as seguintes afirmações sobre cortes de Dedekind:
I. Dado um número racional qualquer, ele constitui um corte dos números racionais segundo Dedekind.
II. Um número racional r separa os racionais em dois conjuntos: os números que são menores que ele e aqueles que são maiores ou iguais a ele.
Assinale a alternativa CORRETA:
		Resposta Selecionada:
	e. 
As afirmações I e II estão corretas e a II explica a I.
	Resposta Correta:
	e. 
As afirmações I e II estão corretas e a II explica a I.
	Feedback da resposta:
	Veja o material teórico: Dedekind partiu da ideia que mencionamos acima: o procedimento de Eudoxo divide o conjunto dos números racionais em dois subconjuntos. Por exemplo, o racional ¾ efetua um corte em Q. De um lado temos o conjunto E (de esquerda) com todos os racionais que são menores que ¾ (e estão à esquerda de ¾ na reta). De outro, temos o conjunto D (de direita) com todos os racionais que são maiores que ¾ (e estão à direita de ¾ na reta). O mesmo vale para qualquer racional r; ele divide os demais números racionais no conjunto E dos números menores do que r e no conjunto D dos números maiores do que r (r pode ser incluído como o maior elemento de E ou o menor elemento de D – aqui sempre o incluiremos como elemento de D). Ou seja: D = {x ∈ Q : x ≥ r }, e E = { x ∈ Q : x < r }.
Questão 6
	Considere as seguintes afirmações sobre a reta numérica, números racionais positivos e medidas de segmentos:
I. Qualquer que seja um segmento AB, se colocarmos o segmento AB sobre a reta numérica de tal forma que A coincida com a origem e B fique à direita de A, o ponto B vai corresponder a uma fração n/m, se e somente se AB é comensurável com o segmento unitário u.
II. Se o segmento AB é comensurável com o segmento unitário u, existe alguma fração m-ésima de u tal que a medida de AB é a fração  .
III. Existem segmentos para os quais não é possível encontrar nenhum submúltiplo da unidade de medida utal que esse submúltiplo caiba um número exato de vezes no segmento em questão.
Assinale a alternativa CORRETA:
		Resposta Selecionada:
	e. 
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
	Resposta Correta:
	d. 
As afirmações I, II e III estão corretas.