Vamos resolver a integral tripla dada: \[ \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \, dx\, dy\, dz \] onde \(R\) é a região entre as esferas: \[ 1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 9 \] ou seja, entre as esferas de raio 1 e raio 3. --- Passo 1: Usar coordenadas esféricas Em coordenadas esféricas: \[ x = \rho \sin \phi \cos \theta, \quad y = \rho \sin \phi \sin \theta, \quad z = \rho \cos \phi \] com \(\rho \in [1,3]\), \(\phi \in [0, \pi]\), \(\theta \in [0, 2\pi]\). O elemento de volume é: \[ dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] E a função a ser integrada: \[ x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2 \] --- Passo 2: Montar a integral \[ \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_1^3 \rho^2 \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_1^3 \rho^4 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] --- Passo 3: Calcular as integrais - Integral em \(\rho\): \[ \int_1^3 \rho^4 d\rho = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_1^3 = \frac{3^5 - 1^5}{5} = \frac{243 - 1}{5} = \frac{242}{5} \] - Integral em \(\phi\): \[ \int_0^\pi \sin \phi \, d\phi = 2 \] - Integral em \(\theta\): \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] --- Passo 4: Multiplicar tudo \[ \frac{242}{5} \times 2 \times 2\pi = \frac{242}{5} \times 4\pi = \frac{968}{5} \pi = 193.6 \pi \] --- Passo 5: Verificar as opções As opções dadas são: I) \(968 \pi\) II) \(5484 \pi\) III) \(5968 \pi\) IV) 3 Nenhuma delas é exatamente \(193.6 \pi\). --- Possível erro na interpretação da região A questão diz "entre as esferas \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\) e \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 9\)". Isso pode ser interpretado como a região entre as esferas de raio 1 e 3, ou seja, \(1 \leq \rho \leq 3\). Se a região fosse entre as esferas de raio 0 e 1, a integral seria: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^4 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^1 \times 2 \times 2\pi = \frac{1}{5} \times 4\pi = \frac{4\pi}{5} = 0.8 \pi \] Muito menor que as opções. --- Conclusão Nenhuma das opções bate com o cálculo correto da integral para a região entre as esferas de raio 1 e 3. --- Resposta final: Você tem que criar uma nova questão (pois a questão está incompleta ou as opções não correspondem ao cálculo correto).