Avaliação II - Individual - revisada - 20-05 - Cálculo Diferencial Integral II

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:1599354)
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Prova 119160655
Qtd. de Questões 10
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Nota 10,00
O comprimento de arco de uma curva é calculado utilizando integrais, uma ferramenta poderosa da análise 
matemática. Ao dividir a curva em segmentos infinitesimais e somar suas contribuições, podemos obter uma 
estimativa precisa do comprimento total. Esse processo é fundamental em várias áreas, como geometria 
diferencial e física, onde o movimento de partículas é descrito por trajetórias curvilíneas.
Sendo assim, assinale entre as opções, aquela que apresenta o comprimento do arco da curva para y = 3x - 
1, com 2 ≤ x ≤ 7.
Utilize
A 5√4.
B 5√10.
C 7√10.
D 2√5.
E 7√4.
Para resolver essa questão, considere que o valor médio de uma função, denominado Vmf, em um dado 
intervalo [a, b], a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por:
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Seja uma empresa que produz e vende kits de jardinagem urbana. Seus clientes recebem um kit completo 
com vasos, terra, sementes e ferramentas para cultivar ervas, vegetais e flores em pequenos espaços, como 
varandas e jardins verticais. O valor do custo de produção para uma certa quantidade de kits (x), é definido 
pela função C(x) = 0,08x³ - 0,9x² + 1,4x + 5. Assim, o valor médio do custo de produção, em de reais para 
um intervalo de 20 a 30 kits é:
A R$ 530,00.
B R$ 540,00.
C R$ 770,00.
D R$ 630,00.
E R$ 810,00.
Os conceitos de Geometria ensinados no Ensino Médio não possibilitam o cálculo de áreas de regiões 
limitadas por curvas arbitrárias. Para resolver esse tipo de problema, é necessário utilizar o conceito de 
integral definida, comumente estudado nas disciplinas de Cálculo. Um exemplo prático disso é o cálculo da 
área de uma região no plano delimitada por curvas.
Considere as curvas definidas por 2y = x e y = x². Indique a alternativa que apresenta a área delimitada por 
essas duas curvas.
A 1/48.
B 5/48.
C 1/12.
D 5/7.
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E 7/12.
Quando uma região plana é girada em torno de uma reta no plano, ela dá origem a uma figura tridimensional 
conhecida como sólido de revolução. Esse processo, chamado de revolução, transforma a região plana em 
um objeto sólido com características específicas. A reta em torno da qual a região gira é denominada eixo de 
rotação. Este conceito é fundamental no estudo do cálculo integral, pois permite calcular volumes de sólidos 
complexos através da integração de funções que descrevem as regiões planas envolvidas.
Com relação à representação do volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, limitado pela 
curva y = x2, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 5, selecione a alternativa correta que apresenta esse 
resultado:
A V = 125π/3 u.v.
B V = 5π u.v.
C V = 625π u.v.
D V = 125π u.v.
E V = 25π u.v.
Calcule o volume do sólido de revolução dado pelas curvas y = x e y = x² revolucionadas em torno do eixo 
x.
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O limite de integração será dado observando onde as curvas são iguais, ou seja, em que x = x². Quando x = 
0 e quando x=1. Qual será o volume do sólido?
Fonte: HORBACH, Jaqueline Luiza; SANTOS, Leonardo Garcia dos. Cálculo diferencial e integral II. 
Indaial: UNIASSELVI, 2019. 209 p.: il. ISBN 978-85-515-0295-2. 
Qual será o volume do sólido gerado pela revolução das funções em torno do eixo x?
A 2π/30 u.v.
B 3π/15 u.v.
C 6π/30 u.v.
D 2π/15 u.v.
E 4π/30 u.v.
Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.
Ao lidar com integrais que apresentam um ponto de descontinuidade dentro do intervalo de integração, é 
crucial aplicar cuidadosamente os conceitos de integração, considerando os diferentes comportamentos da 
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função ao redor desse ponto.
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Para calcular a integral a seguir, é necessário separar em duas partes
PORQUE
II. Há uma descontinuidade na função no ponto x = 1, onde o denominador não pode ser zero.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são falsas.
B A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Para calcular a área de interseção entre curvas usando integrais, é fundamental definir corretamente os limites 
de integração ao longo do eixo x, que em alguns casos é definido pelos pontos de intersecção das curvas. 
Dessa forma, observe o setor de área definido pelas funções f e g na ilustração a seguir
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Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Para calcular a área deste setor, é necessário aplicar a integral
PORQUE
II. A integral que envolve o cálculo de área entre curvas, é sempre definido pela diferença da curva que está 
por baixo com a curva que está por acima.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
D A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
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E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Considere uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força variável 
dada pela função
Esta partícula é deslocada do ponto x = 0 até x = 2. O trabalho realizado sobre a partícula ao longo deste 
deslocamento é uma medida da energia transferida para ela durante esse processo.
Determine entre as opções, qual foi o trabalho realizado sobre a partícula ao longo deste deslocamento.
Obs.: todos os dados estão expressos em unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI).
A 2 J.
B 3 J.
C 4,2 J.
D 5 J.
E 6 J.
Integrais impróprias são uma extensão importante do conceito de integração em cálculo. Elas surgem quando 
as funções a serem integradas apresentam comportamentos singulares nos limites de integração, como infinito 
ou pontos de descontinuidade. Para lidar com essas situações, são aplicadas técnicas específicas, como a 
limitação dos limites de integração e a avaliação de limites, a fim de determinar se a integral converge ou 
diverge. Sendo assim, veja a integral a seguir
Considerando a integral apresentada, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral apresentada é convergente.
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PORQUE
II. Ao calcular essa integral, obtemos
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
C A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Ao resolver o volume de um sólido de revolução em relação aos eixos e intersecções de curvas, é crucial 
escolher o método de resolução apropriado, levando em consideração as características específicas da 
região plana e do sólido gerado. Por exemplo, ao lidar com uma região limitada por curvas que se 
intersectam em múltiplos pontos, pode ser necessário encontrar tais pontos, para então dar continuidadeno 
processo de cálculo.
Sendo assim, determine entre as opões a seguir, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, 
limitado pelas curvas y = x2, y = x – 2 e pelas retas y = 0 e y = 1:
A V = 35π/6 u.v.
B V = 12π/5 u.v.
C V = 2π u.v.
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D V = 4π/3 u.v.
E V = 3π/2 u.v.
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