Vamos resolver o problema passo a passo usando Programação Linear para maximizar o lucro da fábrica. Variáveis: - \( x \) = número de camisetas regatas produzidas por dia - \( y \) = número de camisas sociais produzidas por dia Função objetivo (maximizar lucro): \[ \text{Max } Z = 2x + 5y \] Restrições: 1. Tempo de costura (8 horas disponíveis): \[ 2x + 1y \leq 8 \] 2. Tecido disponível (24 metros): \[ 3x + 4y \leq 24 \] 3. Não negatividade: \[ x \geq 0, \quad y \geq 0 \] --- Passo 1: Encontrar os pontos extremos das restrições - Da restrição do tempo: \[ 2x + y = 8 \implies y = 8 - 2x \] - Da restrição do tecido: \[ 3x + 4y = 24 \implies y = \frac{24 - 3x}{4} \] --- Passo 2: Encontrar os pontos de interseção Igualando as duas expressões de \( y \): \[ 8 - 2x = \frac{24 - 3x}{4} \] Multiplicando ambos os lados por 4: \[ 32 - 8x = 24 - 3x \] \[ 32 - 8x - 24 + 3x = 0 \implies 8 - 5x = 0 \implies x = \frac{8}{5} = 1,6 \] Substituindo em \( y = 8 - 2x \): \[ y = 8 - 2(1,6) = 8 - 3,2 = 4,8 \] --- Passo 3: Avaliar a função objetivo nos pontos extremos - Ponto A: \( x=0 \) - Tempo: \( y \leq 8 \) - Tecido: \( 4y \leq 24 \implies y \leq 6 \) - Logo, \( y \leq 6 \) - Escolhendo \( y=6 \): \[ Z = 2(0) + 5(6) = 30 \] - Ponto B: \( y=0 \) - Tempo: \( 2x \leq 8 \implies x \leq 4 \) - Tecido: \( 3x \leq 24 \implies x \leq 8 \) - Logo, \( x \leq 4 \) - Escolhendo \( x=4 \): \[ Z = 2(4) + 5(0) = 8 \] - Ponto C: Interseção \( (x=1,6; y=4,8) \) \[ Z = 2(1,6) + 5(4,8) = 3,2 + 24 = 27,2 \] --- Conclusão: - O lucro máximo ocorre no ponto \( (x=0, y=6) \), ou seja, produzir 0 camisetas regatas e 6 camisas sociais. - Lucro máximo: R$ 30,00 por dia. --- Resposta final: A fábrica deve produzir 0 camisetas regatas e 6 camisas sociais diariamente para maximizar o lucro, obtendo um lucro máximo de R$ 30,00 por dia.