Vamos analisar passo a passo: Dados: - Duas circunferências concêntricas com raios R = 10 cm (maior) e r = 5 cm (menor). - Corda AB da circunferência maior com comprimento 12 cm. - Triângulo AOB, com O centro das circunferências. - Segmentos AO e OB interceptam a circunferência menor nos pontos C e D, formando o triângulo OCD. - Queremos analisar as afirmações I, II e III. --- Passo 1: Determinar o triângulo AOB - O é o centro, então OA = OB = 10 cm (raio maior). - AB = 12 cm (corda da circunferência maior). Área do triângulo AOB: - O triângulo AOB é isósceles com lados OA = OB = 10 cm e base AB = 12 cm. - Altura h do triângulo AOB em relação à base AB: \[ h = \sqrt{OA^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \] - Área do triângulo AOB: \[ A_{AOB} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ cm}^2 \] --- Passo 2: Determinar o triângulo OCD - C e D são pontos nas interseções dos segmentos AO e OB com a circunferência menor (raio 5 cm). - Como O é centro, OC = OD = 5 cm. - Os triângulos AOB e OCD são semelhantes, pois C e D estão sobre AO e OB, respectivamente, e O é vértice comum. - A razão de semelhança entre os triângulos é: \[ \frac{OC}{OA} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \] - Portanto, as dimensões do triângulo OCD são metade das do triângulo AOB. - Área do triângulo OCD: \[ A_{OCD} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times A_{AOB} = \frac{1}{4} \times 48 = 12 \text{ cm}^2 \] --- Análise da afirmação I: "A área do triângulo OAB é o dobro da área do triângulo OCD." - Área OAB = 48 cm² - Área OCD = 12 cm² - 48 não é o dobro de 12, é quatro vezes maior. Logo, I é falsa. --- Passo 3: Altura do triângulo OCD - Altura do triângulo AOB é 8 cm. - Como os triângulos são semelhantes com razão 1/2, a altura do triângulo OCD é: \[ h_{OCD} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \text{ cm} \] Logo, II é verdadeira. --- Passo 4: Área do trapézio ABCD - O trapézio ABCD tem bases AB e CD, e altura igual à distância entre as bases. - AB = 12 cm (dado). - CD é a corda da circunferência menor correspondente ao triângulo OCD. - Como o triângulo OCD é isósceles com lados OC = OD = 5 cm e base CD, podemos calcular CD: Altura do triângulo OCD = 4 cm (já calculado). Metade da base CD: \[ \frac{CD}{2} = \sqrt{OC^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} \] Logo, \[ CD = 2 \times 3 = 6 \text{ cm} \] - Altura do trapézio ABCD é a distância entre as cordas AB e CD, que é a diferença entre as alturas dos triângulos AOB e OCD: \[ h_{trapézio} = 8 - 4 = 4 \text{ cm} \] - Área do trapézio: \[ A = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = \frac{(12 + 6)}{2} \times 4 = \frac{18}{2} \times 4 = 9 \times 4 = 36 \text{ cm}^2 \] A afirmação III diz que a área do trapézio é 45 cm², o que é falso. --- Conclusão: - I: Falsa - II: Verdadeira - III: Falsa Alternativa correta: b) Apenas uma afirmação é verdadeira.