Vamos resolver passo a passo usando o Método de Newton para encontrar a raiz da função \( F(x) = 2x - \cos(x) \) no intervalo \([0, \pi/4]\). 1. Definições: - \( F(x) = 2x - \cos(x) \) - Derivada: \( F'(x) = 2 + \sin(x) \) 2. Escolha do chute inicial: - O intervalo é \([0, \pi/4] \approx [0, 0,7854]\). - Vamos escolher \( x_0 = 0,5 \) como chute inicial (próximo do meio do intervalo). 3. Fórmula do Método de Newton: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)} \] 4. Iterações: - Iteração 1: \[ F(0,5) = 2(0,5) - \cos(0,5) = 1 - 0,8776 = 0,1224 \] \[ F'(0,5) = 2 + \sin(0,5) = 2 + 0,4794 = 2,4794 \] \[ x_1 = 0,5 - \frac{0,1224}{2,4794} = 0,5 - 0,0494 = 0,4506 \] - Iteração 2: \[ F(0,4506) = 2(0,4506) - \cos(0,4506) = 0,9012 - 0,9005 = 0,0007 \] \[ F'(0,4506) = 2 + \sin(0,4506) = 2 + 0,4353 = 2,4353 \] \[ x_2 = 0,4506 - \frac{0,0007}{2,4353} = 0,4506 - 0,0003 = 0,4503 \] - Iteração 3: \[ F(0,4503) \approx 0 \] Convergiu para aproximadamente \( x = 0,4503 \). 5. Comparando com as alternativas dadas: - 0,4567 - 0,4502 - 0,4587 - 0,3456 - 0,7654 O valor mais próximo e correto com quatro casas decimais é 0,4502. Resposta correta: 0,4502.