Vamos resolver passo a passo a aproximação da integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo \([1,3]\) usando a regra dos retângulos à direita com \( n = 10 \), e depois calcular o erro relativo. --- 1. Dados: - Função: \( f(x) = x^2 + 3 \) - Intervalo: \([1,3]\) - Número de subintervalos: \( n = 10 \) - Método: Retângulos à direita - Valor exato da integral: \( \frac{44}{3} \approx 14,6667 \) --- 2. Passo 1: Calcular o tamanho do subintervalo \( \Delta x \) \[ \Delta x = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \] --- 3. Passo 2: Determinar os pontos de avaliação (pontos à direita de cada subintervalo) Os pontos são: \[ x_i = 1 + i \cdot \Delta x, \quad i = 1, 2, ..., 10 \] Ou seja: \[ x_1 = 1,2; \quad x_2 = 1,4; \quad x_3 = 1,6; \quad x_4 = 1,8; \quad x_5 = 2,0; \quad x_6 = 2,2; \quad x_7 = 2,4; \quad x_8 = 2,6; \quad x_9 = 2,8; \quad x_{10} = 3,0 \] --- 4. Passo 3: Calcular \( f(x_i) \) para cada \( x_i \) \[ f(x) = x^2 + 3 \] Calculando: - \( f(1,2) = (1,2)^2 + 3 = 1,44 + 3 = 4,44 \) - \( f(1,4) = 1,96 + 3 = 4,96 \) - \( f(1,6) = 2,56 + 3 = 5,56 \) - \( f(1,8) = 3,24 + 3 = 6,24 \) - \( f(2,0) = 4 + 3 = 7 \) - \( f(2,2) = 4,84 + 3 = 7,84 \) - \( f(2,4) = 5,76 + 3 = 8,76 \) - \( f(2,6) = 6,76 + 3 = 9,76 \) - \( f(2,8) = 7,84 + 3 = 10,84 \) - \( f(3,0) = 9 + 3 = 12 \) --- 5. Passo 4: Calcular a soma dos retângulos \[ S = \Delta x \cdot \sum_{i=1}^{10} f(x_i) \] Somando os valores de \( f(x_i) \): \[ 4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84 + 12 = 77,36 \] Multiplicando por \( \Delta x = 0,2 \): \[ S = 0,2 \times 77,36 = 15,472 \] --- 6. Passo 5: Calcular o erro relativo Erro relativo é dado por: \[ \text{Erro relativo} = \left| \frac{\text{Valor aproximado} - \text{Valor exato}}{\text{Valor exato}} \right| \] Substituindo: \[ \text{Erro relativo} = \left| \frac{15,472 - 14,6667}{14,6667} \right| = \frac{0,8053}{14,6667} \approx 0,0549 \] Ou seja, aproximadamente 5,49%. --- ### Resposta final: - Valor aproximado da integral pelo método dos retângulos à direita com \( n=10 \): 15,472 - Erro relativo em relação ao valor exato: 5,49% Se precisar de mais ajuda, é só chamar!