Vamos analisar as duas questões separadamente. Questão 1: Marcar a alternativa que apresenta uma equação de ordem 3 e grau 2. - Ordem: é a maior derivada presente na equação. - Grau: é o expoente da maior derivada, desde que a equação esteja na forma polinomial em relação às derivadas. Analisando as alternativas: A) \( x''' - yx = 4 \) - Ordem: 3 (derivada terceira de x) - Grau: 1 (derivada está elevada a 1) B) \( \frac{\partial^2 v}{\partial m^2} - 3v^2 = m + 1 \) - Ordem: 2 (segunda derivada parcial) - Grau: 1 (derivada elevada a 1) C) \( \frac{du}{dv} + \left( \cos(u) \frac{d^3 u}{dv^3} \right)^2 = 4v \) - Ordem: 3 (derivada terceira de u) - Grau: 2 (derivada terceira está elevada ao quadrado) D) \( \left( \frac{\partial u}{\partial v} \frac{\partial^2 y}{\partial v^2} \right)^3 = 3uv \) - Ordem: 2 (maior derivada segunda) - Grau: 3 (produto elevado ao cubo, mas grau é o expoente da maior derivada isolada) E) \( (st')^2 + \cos(x)(st)^3 = 4x \) - Ordem: 1 (derivada primeira) - Grau: 2 (derivada elevada ao quadrado) Resposta da Questão 1: A alternativa C apresenta equação de ordem 3 e grau 2. --- Questão 2: Classificar a equação: \( e^{uv} - \left( \frac{du}{dv} \right)^2 + \ln(u) = \frac{d^2 u}{dv^2} \) Análise: - A equação envolve derivadas ordinárias (em relação a v), pois só há derivadas de u em relação a v. - A maior derivada é a segunda derivada de u em relação a v → ordem 2. - A equação não é linear, pois há termos como \( e^{uv} \), \( \ln(u) \), e o quadrado da primeira derivada. - Não é homogênea, pois há termos independentes das derivadas. - Não é parcial, pois só há derivadas em relação a uma variável (v). Analisando as alternativas: A) Ordinária, linear e não homogênea → Não, pois não é linear. B) Ordinária, de grau 2 e ordem 1 → Ordem é 2, não 1. C) Parcial, linear e homogênea → Não é parcial nem linear. D) Parcial, de coeficientes constantes e de segunda ordem → Não é parcial. E) Ordinária, linear de grau 2 → Não é linear. Nenhuma alternativa parece correta, mas a que mais se aproxima é a B, pois é ordinária, de grau 2 (o quadrado da primeira derivada) e ordem 1 (mas na equação há segunda ordem, então não bate). Como a questão pede a classificação verdadeira, a melhor resposta é: B) Ordinária, de grau 2 e ordem 1. --- Resumo final: - Questão 1: alternativa C - Questão 2: alternativa B