6. Usando integrais. Ache o volume do tronco de um cone cuja a base inferior tem raio R, a base superior tem raio r, e a altitude é h.

Claro! Vamos resolver passo a passo o volume do tronco de cone usando integrais. Dados: - Raio da base inferior: \( R \) - Raio da base superior: \( r \) - Altura: \( h \) --- ### Passo 1: Definir a função do raio em função da altura \( x \) O tronco de cone é uma figura gerada pela rotação de uma linha que vai do raio \( R \) na base (em \( x=0 \)) até o raio \( r \) no topo (em \( x=h \)). A variação do raio é linear, então a função do raio \( y(x) \) é: \[ y(x) = R + \frac{r - R}{h} x \] --- ### Passo 2: Expressar a área da seção transversal em função de \( x \) A área da seção transversal (círculo) em \( x \) é: \[ A(x) = \pi [y(x)]^2 = \pi \left( R + \frac{r - R}{h} x \right)^2 \] --- ### Passo 3: Calcular o volume pela integral O volume \( V \) é a integral da área ao longo da altura: \[ V = \int_0^h A(x) \, dx = \pi \int_0^h \left( R + \frac{r - R}{h} x \right)^2 dx \] --- ### Passo 4: Resolver a integral Expanda o quadrado: \[ \left( R + \frac{r - R}{h} x \right)^2 = R^2 + 2R \frac{r - R}{h} x + \left( \frac{r - R}{h} \right)^2 x^2 \] Então: \[ V = \pi \int_0^h \left[ R^2 + 2R \frac{r - R}{h} x + \left( \frac{r - R}{h} \right)^2 x^2 \right] dx \] Integramos termo a termo: \[ V = \pi \left[ R^2 x + R \frac{r - R}{h} x^2 + \frac{(r - R)^2}{3 h^2} x^3 \right]_0^h \] Substituindo \( x = h \): \[ V = \pi \left[ R^2 h + R \frac{r - R}{h} h^2 + \frac{(r - R)^2}{3 h^2} h^3 \right] \] Simplificando: \[ V = \pi \left[ R^2 h + R (r - R) h + \frac{(r - R)^2}{3} h \right] \] --- ### Passo 5: Colocar em forma final \[ V = \pi h \left[ R^2 + R(r - R) + \frac{(r - R)^2}{3} \right] \] Expanda \( R(r - R) = Rr - R^2 \): \[ V = \pi h \left[ R^2 + Rr - R^2 + \frac{(r - R)^2}{3} \right] = \pi h \left[ Rr + \frac{(r - R)^2}{3} \right] \] Expanda \( (r - R)^2 = r^2 - 2 R r + R^2 \): \[ V = \pi h \left[ R r + \frac{r^2 - 2 R r + R^2}{3} \right] = \pi h \left[ \frac{3 R r}{3} + \frac{r^2 - 2 R r + R^2}{3} \right] \] \[ V = \pi h \frac{r^2 + R^2 + R r}{3} \] --- ### Resposta final: \[ \boxed{ V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + R r) } \] --- Esse é o volume do tronco de cone com base inferior de raio \( R \), base superior de raio \( r \) e altura \( h \).