Vamos resolver passo a passo o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada pela parábola \( y = 2x + \frac{1}{2} \) e pelas retas \( x = -1 \), \( y = -2 \) e \( y = 2 \), girando em torno da reta \( x = -1 \). 1. Entender a região: - A parábola dada é \( y = 2x + \frac{1}{2} \) (na verdade, parece uma função linear, não parábola; talvez tenha um erro na questão, mas vamos considerar como está). - As retas delimitam a região: \( x = -1 \), \( y = -2 \), \( y = 2 \). - A região está entre \( y = -2 \) e \( y = 2 \), e entre \( x = -1 \) e a curva \( y = 2x + \frac{1}{2} \). 2. Expressar \( x \) em função de \( y \): Como a rotação é em torno da reta vertical \( x = -1 \), é mais fácil integrar em relação a \( y \). Da equação \( y = 2x + \frac{1}{2} \), isolamos \( x \): \[ x = \frac{y - \frac{1}{2}}{2} = \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \] 3. Determinar os limites de integração: Os limites em \( y \) são de \( y = -2 \) até \( y = 2 \). 4. Raio da revolução: O sólido é gerado pela rotação da região em torno da reta \( x = -1 \). Para cada \( y \), o raio do cilindro gerado é a distância entre \( x = -1 \) e \( x = \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \): \[ R(y) = \left| \left( \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \right) - (-1) \right| = \frac{y}{2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{y}{2} + \frac{3}{4} \] 5. Volume pelo método dos discos (ou anéis): Como a região está entre \( x = -1 \) e a curva, o sólido gerado é um cilindro com raio \( R(y) \) para cada \( y \). O volume é: \[ V = \pi \int_{y=-2}^{2} [R(y)]^2 dy = \pi \int_{-2}^{2} \left( \frac{y}{2} + \frac{3}{4} \right)^2 dy \] 6. Calcular a integral: Primeiro, expandir o quadrado: \[ \left( \frac{y}{2} + \frac{3}{4} \right)^2 = \left( \frac{y}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{y}{2} \cdot \frac{3}{4} + \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{y^2}{4} + \frac{3y}{4} + \frac{9}{16} \] Agora, integrar termo a termo: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} \left( \frac{y^2}{4} + \frac{3y}{4} + \frac{9}{16} \right) dy = \pi \left[ \frac{1}{4} \int_{-2}^{2} y^2 dy + \frac{3}{4} \int_{-2}^{2} y dy + \frac{9}{16} \int_{-2}^{2} dy \right] \] Calcular cada integral: - \(\int_{-2}^{2} y^2 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}\) - \(\int_{-2}^{2} y dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-2}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0\) - \(\int_{-2}^{2} dy = 2 - (-2) = 4\) Substituindo: \[ V = \pi \left[ \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{3} + \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{9}{16} \cdot 4 \right] = \pi \left[ \frac{16}{12} + 0 + \frac{36}{16} \right] = \pi \left[ \frac{4}{3} + \frac{9}{4} \right] \] Colocar em denominador comum (12): \[ \frac{4}{3} = \frac{16}{12}, \quad \frac{9}{4} = \frac{27}{12} \] Somando: \[ \frac{16}{12} + \frac{27}{12} = \frac{43}{12} \] Portanto, \[ V = \pi \cdot \frac{43}{12} = \frac{43\pi}{12} \] Resposta final: \[ \boxed{V = \frac{43\pi}{12}} \] Esse é o volume do sólido gerado pela revolução da região dada em torno da reta \( x = -1 \).