Vamos resolver passo a passo a EDO de primeira ordem dada: \[ \frac{dy}{dx} = \sin(y^2), \quad y(0) = 0,2 \] com passo \( h = 0,3 \), e queremos encontrar \( y(0,4) \). Passo 1: Identificar o método Como o enunciado não especifica o método, mas menciona "ponto", provavelmente é o método de Euler (método do ponto). Passo 2: Calcular \( y \) em \( x = 0,3 \) e depois em \( x = 0,6 \) (mas queremos em 0,4, então faremos interpolação ou usaremos passo menor). Porém, \( h = 0,3 \) e queremos \( y(0,4) \), que não é múltiplo de 0,3. Para aproximar \( y(0,4) \), podemos fazer: - Calcular \( y(0,3) \) pelo método de Euler - Calcular \( y(0,6) \) pelo método de Euler - Fazer interpolação linear para \( y(0,4) \) Passo 3: Cálculos - \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0,2 \) Calcula \( y_1 \) em \( x_1 = 0,3 \): \[ y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 0,2 + 0,3 \cdot \sin(0,2^2) = 0,2 + 0,3 \cdot \sin(0,04) \] \[ \sin(0,04) \approx 0,03998 \] \[ y_1 = 0,2 + 0,3 \times 0,03998 = 0,2 + 0,011994 = 0,211994 \] Calcula \( y_2 \) em \( x_2 = 0,6 \): \[ y_2 = y_1 + h \cdot \sin(y_1^2) = 0,211994 + 0,3 \cdot \sin(0,211994^2) \] \[ 0,211994^2 \approx 0,0449 \] \[ \sin(0,0449) \approx 0,04488 \] \[ y_2 = 0,211994 + 0,3 \times 0,04488 = 0,211994 + 0,013464 = 0,225458 \] Passo 4: Interpolação para \( x = 0,4 \) Entre \( x=0,3 \) e \( x=0,6 \), \( y \) varia de 0,211994 para 0,225458. A distância entre 0,3 e 0,6 é 0,3; queremos o valor em 0,4, que está a 0,1 de 0,3. Interpolação linear: \[ y(0,4) \approx y_1 + \frac{0,4 - 0,3}{0,6 - 0,3} (y_2 - y_1) = 0,211994 + \frac{0,1}{0,3} (0,225458 - 0,211994) \] \[ = 0,211994 + \frac{1}{3} \times 0,013464 = 0,211994 + 0,004488 = 0,216482 \] Resposta: \[ y(0,4) \approx 0,2165 \] --- Se a questão for de múltipla escolha, assinale a alternativa que apresenta esse valor aproximado.