Vamos resolver a EDO de primeira ordem dada: \[ \frac{dy}{dx} = \cos y, \quad y(0) = 3, \] usando o método de Runge-Kutta de ordem 4 (RK4) com passo \( h = 0,3 \) para encontrar \( y(0,4) \). --- Passo 1: Definir a função \[ f(x,y) = \cos y \] --- Passo 2: Aplicar RK4 para dois passos (de 0 a 0,3 e de 0,3 a 0,6), mas queremos \( y(0,4) \), que está entre 0,3 e 0,6. Então, faremos um passo de 0,3 e depois um passo menor de 0,1 para chegar a 0,4. --- ### Primeiro passo: de \( x_0=0 \) a \( x_1=0,3 \), com \( y_0=3 \) Calcular os coeficientes: \[ k_1 = h \cdot f(x_0, y_0) = 0,3 \cdot \cos(3) = 0,3 \cdot \cos(3) \] \[ k_2 = h \cdot f\left(x_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{k_1}{2}\right) = 0,3 \cdot \cos\left(3 + \frac{k_1}{2}\right) \] \[ k_3 = h \cdot f\left(x_0 + \frac{h}{2}, y_0 + \frac{k_2}{2}\right) = 0,3 \cdot \cos\left(3 + \frac{k_2}{2}\right) \] \[ k_4 = h \cdot f(x_0 + h, y_0 + k_3) = 0,3 \cdot \cos(3 + k_3) \] --- Vamos calcular os valores numéricos: \[ \cos(3) \approx -0,9900 \] \[ k_1 = 0,3 \times (-0,9900) = -0,2970 \] \[ k_2 = 0,3 \times \cos\left(3 - \frac{0,2970}{2}\right) = 0,3 \times \cos(3 - 0,1485) = 0,3 \times \cos(2,8515) \] \[ \cos(2,8515) \approx -0,9590 \] \[ k_2 = 0,3 \times (-0,9590) = -0,2877 \] \[ k_3 = 0,3 \times \cos\left(3 - \frac{0,2877}{2}\right) = 0,3 \times \cos(3 - 0,14385) = 0,3 \times \cos(2,85615) \] \[ \cos(2,85615) \approx -0,9609 \] \[ k_3 = 0,3 \times (-0,9609) = -0,2883 \] \[ k_4 = 0,3 \times \cos(3 - 0,2883) = 0,3 \times \cos(2,7117) \] \[ \cos(2,7117) \approx -0,9080 \] \[ k_4 = 0,3 \times (-0,9080) = -0,2724 \] --- ### Atualizar \( y \): \[ y_1 = y_0 + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \] \[ y_1 = 3 + \frac{1}{6}(-0,2970 + 2 \times -0,2877 + 2 \times -0,2883 + -0,2724) \] \[ = 3 + \frac{1}{6}(-0,2970 - 0,5754 - 0,5766 - 0,2724) = 3 + \frac{1}{6}(-1,7214) \] \[ = 3 - 0,2869 = 2,7131 \] --- ### Segundo passo: de \( x_1=0,3 \) a \( x=0,4 \) (passo \( h=0,1 \)), com \( y_1=2,7131 \) Repetir o processo com \( h=0,1 \): \[ k_1 = 0,1 \times \cos(2,7131) \approx 0,1 \times (-0,9090) = -0,0909 \] \[ k_2 = 0,1 \times \cos(2,7131 - 0,0909/2) = 0,1 \times \cos(2,7131 - 0,04545) = 0,1 \times \cos(2,66765) \] \[ \cos(2,66765) \approx -0,8920 \] \[ k_2 = -0,0892 \] \[ k_3 = 0,1 \times \cos(2,7131 - 0,0892/2) = 0,1 \times \cos(2,7131 - 0,0446) = 0,1 \times \cos(2,6685) \] \[ \cos(2,6685) \approx -0,8925 \] \[ k_3 = -0,0893 \] \[ k_4 = 0,1 \times \cos(2,7131 - 0,0893) = 0,1 \times \cos(2,6238) \] \[ \cos(2,6238) \approx -0,8720 \] \[ k_4 = -0,0872 \] --- ### Atualizar \( y \): \[ y(0,4) = y_1 + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \] \[ = 2,7131 + \frac{1}{6}(-0,0909 + 2 \times -0,0892 + 2 \times -0,0893 + -0,0872) \] \[ = 2,7131 + \frac{1}{6}(-0,0909 - 0,1784 - 0,1786 - 0,0872) = 2,7131 + \frac{1}{6}(-0,5351) \] \[ = 2,7131 - 0,0892 = 2,6239 \] --- ### Resposta final: \[ \boxed{y(0,4) \approx 2,62} \] --- Se precisar da alternativa correta, escolha aquela que apresenta o valor próximo a 2,62.