Problema 9: Calcule a integral ∫ (1/(x^2 + 4)) dx. a) (1/2)tan^{-1}(x/2) + C b) tan^{-1}(x) + C c) (1/4)tan^{-1}(x) + C d) (1/2)tan^{-1}(x) + C

Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos usar a substituição que envolve a função arco-tangente. Sabemos que a integral da forma \(\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx\) resulta em \(\frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C\). No nosso caso, temos \(a^2 = 4\), então \(a = 2\). Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x/2) + C\)