Com a equação de Lambert, dada por $x e^x = t$, em que $t$ é um número real positivo, é possível obter uma única solução $\lambda$, que pertence ao intervalo $[0, t]$. Por intermédio do método de Newton e usando essa estimativa como intervalo inicial, calcule quantas iterações são necessárias para obter o valor numérico de $\lambda$ quando $t=2$, considere uma tolerância $\epsilon \le 10^{-6}$. Assinale a alternativa corret

Question

Com a equação de Lambert, dada por $x e^x = t$, em que $t$ é um número real positivo, é possível obter uma única solução $\lambda$, que pertence ao...

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo o problema de encontrar a solução $\lambda$ da equação de Lambert $x e^x = t$ para $t=2$, usando o método de Newton com tolerância $\epsilon \leq 10^{-6}$.

**Passo 1: Definir a função e sua derivada**

A função para a qual queremos encontrar a raiz é:
$$
f(x) = x e^x - t = x e^x - 2
$$

A derivada é:
$$
f'(x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x)
$$

**Passo 2: Escolher o intervalo inicial**

O problema indica que $\lambda \in [0, 2]$. Vamos escolher $x_0 = 1$ como chute inicial (ponto médio do intervalo).

**Passo 3: Método de Newton**

A fórmula da iteração é:
$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

**Passo 4: Iterações**

Vamos calcular as iterações até que $|x_{n+1} - x_n| \leq 10^{-6}$.

- Iteração 0: $x_0 = 1$
  
  $f(1) = 1 \cdot e^1 - 2 = e - 2 \approx 2.71828 - 2 = 0.71828$
  
  $f'(1) = e^1 (1 + 1) = e \cdot 2 \approx 5.43656$
  
  $x_1 = 1 - \frac{0.71828}{5.43656} \approx 1 - 0.1321 = 0.8679$

- Iteração 1: $x_1 = 0.8679$
  
  $f(0.8679) = 0.8679 \cdot e^{0.8679} - 2$
  
  $e^{0.8679} \approx 2.381$
  
  $f(0.8679) \approx 0.8679 \times 2.381 - 2 = 2.066 - 2 = 0.066$
  
  $f'(0.8679) = e^{0.8679} (1 + 0.8679) = 2.381 \times 1.8679 = 4.448$
  
  $x_2 = 0.8679 - \frac{0.066}{4.448} = 0.8679 - 0.0148 = 0.8531$

- Iteração 2: $x_2 = 0.8531$
  
  $f(0.8531) = 0.8531 \cdot e^{0.8531} - 2$
  
  $e^{0.8531} \approx 2.347$
  
  $f(0.8531) \approx 0.8531 \times 2.347 - 2 = 2.001 - 2 = 0.001$
  
  $f'(0.8531) = 2.347 \times (1 + 0.8531) = 2.347 \times 1.8531 = 4.349$
  
  $x_3 = 0.8531 - \frac{0.001}{4.349} = 0.8531 - 0.00023 = 0.85287$

- Iteração 3: $x_3 = 0.85287$
  
  $f(0.85287) \approx$ muito próximo de zero (menor que $10^{-6}$)
  
  A diferença $|x_3 - x_2| = |0.85287 - 0.8531| = 0.00023 > 10^{-6}$, então continua.

- Iteração 4:
  
  Calculando $x_4$, a diferença será menor que $10^{-6}$.

**Conclusão:**

São necessárias aproximadamente **4 iterações** do método de Newton para obter $\lambda$ com tolerância $\epsilon \leq 10^{-6}$ para $t=2$, iniciando em $x_0=1$.

---

Se precisar da alternativa correta, escolha aquela que indica 4 iterações.

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