uma reta no plano cartesiano passa pelos pontos \A(1,2)$ e \B(3,-1)\. Qual é a forma simétrica da equação da dessa reta?

Question

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo:

1. Dados os pontos A(1, 2) e B(3, -1), primeiro calculamos o coeficiente angular (m) da reta que passa por eles:

$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 2}{3 - 1} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}
$$

2. A equação da reta na forma geral é:

$$
y - y_1 = m(x - x_1)
$$

Usando o ponto A(1, 2):

$$
y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 1)
$$

3. Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

$$
2(y - 2) = -3(x - 1)
$$

$$
2y - 4 = -3x + 3
$$

4. Colocando todos os termos no mesmo lado:

$$
3x + 2y - 7 = 0
$$

5. Para obter a forma simétrica da equação da reta, isolamos $x$ e $y$ em relação a um parâmetro $t$:

Sabemos que a reta passa por A(1, 2) e tem vetor diretor $\vec{d} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2, -3)$.

A forma paramétrica é:

$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \
y = 2 - 3t
\end{cases}
$$

6. Agora, isolamos $t$ em cada equação:

$$
t = \frac{x - 1}{2} = \frac{2 - y}{3}
$$

7. A forma simétrica da equação da reta é:

$$
\frac{x - 1}{2} = \frac{2 - y}{3}
$$

---

**Resposta final:**

$$
\boxed{\frac{x - 1}{2} = \frac{2 - y}{3}}
$$

Essa é a forma simétrica da equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, -1).

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