Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz da função f(x) = x³ - 13x + 4, com x₀ = 0,5 e erro menor que 0,000001. Passos: 1. Definir f(x) e f'(x): f(x) = x³ - 13x + 4 f'(x) = 3x² - 13 2. Fórmula do método: x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) 3. Iterar até que |x_{n+1} - x_n| < 0,000001 Iterações: - Iteração 1: x₀ = 0,5 f(0,5) = 0,5³ - 13*0,5 + 4 = 0,125 - 6,5 + 4 = -2,375 f'(0,5) = 3*(0,5)² - 13 = 3*0,25 - 13 = 0,75 - 13 = -12,25 x₁ = 0,5 - (-2,375)/(-12,25) = 0,5 - 0,19387755 = 0,306122 - Iteração 2: x₁ = 0,306122 f(0,306122) = (0,306122)³ - 13*0,306122 + 4 ≈ 0,0287 - 3,9796 + 4 = 0,0491 f'(0,306122) = 3*(0,306122)² - 13 ≈ 3*0,0937 - 13 = 0,281 - 13 = -12,719 x₂ = 0,306122 - 0,0491 / (-12,719) = 0,306122 + 0,00386 = 0,309982 - Iteração 3: x₂ = 0,309982 f(0,309982) ≈ (0,309982)³ - 13*0,309982 + 4 ≈ 0,0298 - 4,0298 + 4 = 0,00002 f'(0,309982) ≈ 3*(0,309982)² - 13 ≈ 3*0,0961 - 13 = 0,288 - 13 = -12,712 x₃ = 0,309982 - 0,00002 / (-12,712) = 0,309982 + 0,00000157 = 0,309984 Diferença |x₃ - x₂| = 0,000002 < 0,000001? Quase, vamos fazer mais uma iteração para garantir. - Iteração 4: x₃ = 0,309984 f(0,309984) ≈ muito próximo de zero A diferença será menor que 0,000001. Portanto, a raiz aproximada com seis casas decimais é 0,309984. Resposta correta: E) x = 0,309984