Resolva a integral ∫ x^3 lnx dx, utilizando integração por partes.

Claro! Vamos resolver a integral \(\int x^3 \ln x \, dx\) usando integração por partes. Passo 1: Identificar \(u\) e \(dv\): - \(u = \ln x\) (pois sua derivada simplifica) - \(dv = x^3 dx\) Passo 2: Calcular \(du\) e \(v\): - \(du = \frac{1}{x} dx\) - \(v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}\) Passo 3: Aplicar a fórmula da integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] \[ \int x^3 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx \] Passo 4: Calcular a integral restante: \[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \] Passo 5: Substituir e simplificar: \[ \int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C \] Resposta final: \[ \boxed{\int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C} \]