Resolva a integral ∫ 1 / (x^2/4 − 9) dx, utilizando substituição trigonométrica.

Claro! Vamos resolver a integral \(\int \frac{1}{\frac{x^2}{4} - 9} \, dx\) usando substituição trigonométrica, passo a passo. 1. Reescreva a integral: \[ \int \frac{1}{\frac{x^2}{4} - 9} \, dx = \int \frac{1}{\frac{x^2}{4} - 3^2} \, dx \] Multiplicando numerador e denominador por 4 para simplificar: \[ = \int \frac{4}{x^2 - 36} \, dx \] 2. Forma da integral: Temos \(\int \frac{4}{x^2 - a^2} dx\), com \(a = 6\). 3. Substituição trigonométrica: Para \(x^2 - a^2\), usamos \(x = a \sec \theta\), então: \[ x = 6 \sec \theta \implies dx = 6 \sec \theta \tan \theta \, d\theta \] 4. Substituindo na integral: \[ \int \frac{4}{(6 \sec \theta)^2 - 36} \cdot dx = \int \frac{4}{36 \sec^2 \theta - 36} \cdot 6 \sec \theta \tan \theta \, d\theta \] Simplificando o denominador: \[ 36 (\sec^2 \theta - 1) = 36 \tan^2 \theta \] Então a integral fica: \[ \int \frac{4 \cdot 6 \sec \theta \tan \theta}{36 \tan^2 \theta} \, d\theta = \int \frac{24 \sec \theta \tan \theta}{36 \tan^2 \theta} \, d\theta = \int \frac{2}{3} \cdot \frac{\sec \theta}{\tan \theta} \, d\theta \] 5. Simplificando a fração: \[ \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \] Logo, a integral é: \[ \int \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta = \frac{2}{3} \int \csc \theta \, d\theta \] 6. Integral de \(\csc \theta\): \[ \int \csc \theta \, d\theta = \ln \left| \tan \frac{\theta}{2} \right| + C \] Portanto: \[ \int \frac{1}{\frac{x^2}{4} - 9} \, dx = \frac{2}{3} \ln \left| \tan \frac{\theta}{2} \right| + C \] 7. Voltar para \(x\): Como \(x = 6 \sec \theta\), temos: \[ \sec \theta = \frac{x}{6} \implies \theta = \sec^{-1} \left( \frac{x}{6} \right) \] Para expressar \(\tan \frac{\theta}{2}\) em função de \(x\), podemos usar a fórmula: \[ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \] Sabemos que: \[ \cos \theta = \frac{6}{x}, \quad \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{x} \] Logo: \[ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 36}}{x}}{1 + \frac{6}{x}} = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{x + 6} \] 8. Resposta final: \[ \boxed{ \int \frac{1}{\frac{x^2}{4} - 9} \, dx = \frac{2}{3} \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{x + 6} \right| + C } \] Pronto! Essa é a integral resolvida usando substituição trigonométrica.