3x^2+12 , derivar pela definição?

f'(x) = lim   {3(x+Δx)²+12} – {3x²+12}/Δx

         Δx→0 

       = lim    3x²+6xΔx+3Δx²+12–3x²–12/Δx

         Δx→0

       = lim    6xΔx+3Δx²/Δx

         Δx→0

       = lim    Δx(6x+3Δx)/Δx

         Δx→0

       = lim    (6x+3Δx)

         Δx→0

logo, f'(x)= 6x

Temos que:

\(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{3(x+h)^2+12-(3x^2+12)}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^2+2xh+h^2)+12-3x^2-12}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^2+6xh3+h^2+12-3x^2-12}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+h^2}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0} \\=6x\)

Portanto, podemos concluir que:

\(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x\)