Calcular os determinantes das matrizes

Então, usando o Teorema de Laplace para encontrar o determinante dessa matriz A e B, você pode fazer a expansão de cofatores. Quanto mais zeros existir em uma linha melhor, pois você precisará calcular poucos determinantes. Observe que a quarta linha da matriz A possui dois zeros, logo, se você fizer a expansão nessa linha, você irá fazer, apenas, o determinante de a41,a42. Na matriz B, a segunda linha é a que possui a maior quantidade de zeros, logo, será mais prático se você aplicar  Teorema de Laplace nela.
Rony, você conhece esse teorema? se sim, é só aplicar amigo! Caso não conheça, me avise, pois posso lhe ajudar e assim você aprender a calcular o determinante de uma matriz de ordem n.

Caro Rony, acesse esse link que lhe ajudara muito:

https://www.youtube.com/watch?v=BzyuprVAh8w

A) Vamos utilizar o método da eliminação de Gauss:

\(L_1 \\ L_2 \\ L_3\\L_4\)\(\begin{bmatrix} 1&0&-1&3\\2&3&4&2 \\0&2&5&1\\4&1&0&0 \end{bmatrix}\)

\(L_2-2\times L_1 \rightarrow L_2\)

\(\begin{bmatrix} 1&0&-1&3\\\textbf{0}&\textbf{3}&\textbf{6}&\textbf{-4} \\0&2&5&1\\4&1&0&0 \end{bmatrix}\)

\(L_3- \frac{2}{3} \times L_2 \rightarrow L_3\)

\(\begin{bmatrix} 1&0&-1&3\\0&3&6&-4 \\\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{1}&\frac{\textbf{11}}{\textbf{3}}\\0&1&4&-12 \end{bmatrix}\)

\(L_4- \frac{1}{3} \times L_2 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 1&0&-1&3\\0&3&6&-4 \\0&0&1&\frac{11}{3}\\\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{2}&\frac{\textbf{-32}}{\textbf{3}} \end{bmatrix}\)

\(L_4-2 \times L_3 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 1&0&-1&3\\0&3&6&-4 \\0&0&1&\frac{11}{3}\\\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{-18} \end{bmatrix}\)

Agora para calcularmos a determinante precisamos apenas multiplicar os valores da diagonal:

\(D=1\times 3 \times 1 \times (-18)=-54\)

Logo, a determinante é igual \(\boxed{D=-54}\).

B) Utilizaremos o mesmo método para calcular a determinante da matriz:

\(L_1 \\ L_2 \\ L_3\\L_4\)\(\begin{bmatrix} 2&4&2&4\\0&1&1&0 \\1&0&2&3\\3&0&1&0 \end{bmatrix}\)

\(L_3- \frac{1}{2} \times L_1 \rightarrow L_3\)

\(\begin{bmatrix} 2&4&2&4\\0&1&1&0 \\\textbf{0}&\textbf{-2}&\textbf{1}&\textbf{1}\\3&0&1&0 \end{bmatrix}\)

\(L_4- \frac{3}{2} \times L_1 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 2&4&2&4\\0&1&1&0 \\0&-2&1&1\\\textbf{0}&\textbf{-6}&\textbf{-2}&\textbf{-6} \end{bmatrix}\)

\(L_3- (-2) \times L_2 \rightarrow L_3\)

\(\begin{bmatrix} 2&4&2&4\\0&1&1&0 \\\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{3}&\textbf{1}\\0&-6&-2&-6 \end{bmatrix}\)

\(L_4- (-6) \times L_2 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 2&4&2&4\\0&1&1&0 \\0&0&3&1\\\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{4}&\textbf{-6} \end{bmatrix}\)

\((\frac{-4}{3})L_4 -(\frac{4}{3})\times L_3 \rightarrow L_4\)

\(\begin{bmatrix} 2&4&2&4\\0&1&1&0 \\0&0&3&1\\\textbf{0}&\textbf{0}&\textbf{0}&\frac{\textbf{-22}}{\textbf{3}} \end{bmatrix}\)

Agora para calcularmos a determinante precisamos apenas multiplicar os valores da diagonal:

\(D=2\times 1 \times 3 \times (\frac{-22}{3})=-44\)

Logo, a determinante é igual \(\boxed{D=-44}\).