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A inclinação de qualquer reta tangente à curva \(f(x) = x^2 - 4\) se dá pela seguinte equação:
\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} = {d\over dx}(x^2 - 4)\)
\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} = 2x\)
A função \(y = 2x - 1\) possui inclinação igual a 2. Para a reta tangente ser paralela a \(y = 2x - 1\), a seguinte equação deve ser satisfeita:
\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} = 2\)
Portanto, a coordenada \(x\) por onde passa a reta tangente é:
\(\Longrightarrow 2x = 2\)
\(\Longrightarrow x=1\)
Conhecendo a coordenada \(x=1\), a abscissa correspondente é:
\(\Longrightarrow f(x) = x^2 - 4\)
\(\Longrightarrow f(x) = 1^2 - 4\)
\(\Longrightarrow f(x) = -3\)
Portanto, deve-se encontrar a reta tangente à curva \(f(x) = x^2 - 4\) no ponto \((1,-3)\).
A equação da reta tangente \(y_{tan}\) é:
\(\Longrightarrow y_{tan} = {df(x) \over dx}x + b\)
\(\Longrightarrow y_{tan} = 2x + b\)
Substituindo o ponto \((1,-3)\) na equação \(y_{tan}\), o valor de \(b\) é:
\(\Longrightarrow -3= 2\cdot 1 + b\)
\(\Longrightarrow b=-5\)
Portanto, a equação completa da reta tangente é:
\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{tan} = 2x -5 $}\)
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