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geometria analitica

dada a equação da esfera 2x^2 +2y^2 +2z^2-4x+2y+6z+1=0 obter o raio ,a área da supeficie esférica , o volume de esfera


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

A equação da esfera de centro \((x_0,y_0,z_0)\) e raio \(r\) é:

\(\Longrightarrow (x-x_0)^2+ (y-y_0)^2 + (z -z_0)^2 =r^2\)


Pela equação do enunciado, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4x + 2y + 6z + 1= 0\)

\(\Longrightarrow (2x^2 -4x)+ (2y^2+2y) + (2z^2 + 6z) =-1\)

\(\Longrightarrow (x^2 -2x)+ (y^2+y) + (z^2 + 3z) =-{1 \over 2}\)

\(\Longrightarrow (x^2 -2x+1)+ (y^2+y+{1 \over 4}) + (z^2 + 3z+{9 \over 4}) =-{1 \over 2}+1+{1 \over 4}+{9 \over 4}\)

\(\Longrightarrow (x-1)^2+ (y+{1 \over 2})^2 + (z +{3 \over 2})^2 =3\)


Portanto, o raio da esfera é:

\(\Longrightarrow r^2 = 3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ r = \sqrt{3} $}\)


Então, a área da superfície da esfera é:

\(\Longrightarrow A = 4\pi r^2\)

\(\Longrightarrow A = 4\pi (\sqrt{3})^2\)

\(\Longrightarrow A = 4\pi \cdot 3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$A = 12 \pi $}\)


E o volume da esfera é:

\(\Longrightarrow V ={4 \over 3} \pi r^3\)

\(\Longrightarrow V ={4 \over 3} \pi (\sqrt{3})^3\)

\(\Longrightarrow V ={4 \over 3} \pi \cdot 3 \sqrt{3}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ V =4 \sqrt{3}\pi $}\)

A equação da esfera de centro \((x_0,y_0,z_0)\) e raio \(r\) é:

\(\Longrightarrow (x-x_0)^2+ (y-y_0)^2 + (z -z_0)^2 =r^2\)


Pela equação do enunciado, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4x + 2y + 6z + 1= 0\)

\(\Longrightarrow (2x^2 -4x)+ (2y^2+2y) + (2z^2 + 6z) =-1\)

\(\Longrightarrow (x^2 -2x)+ (y^2+y) + (z^2 + 3z) =-{1 \over 2}\)

\(\Longrightarrow (x^2 -2x+1)+ (y^2+y+{1 \over 4}) + (z^2 + 3z+{9 \over 4}) =-{1 \over 2}+1+{1 \over 4}+{9 \over 4}\)

\(\Longrightarrow (x-1)^2+ (y+{1 \over 2})^2 + (z +{3 \over 2})^2 =3\)


Portanto, o raio da esfera é:

\(\Longrightarrow r^2 = 3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ r = \sqrt{3} $}\)


Então, a área da superfície da esfera é:

\(\Longrightarrow A = 4\pi r^2\)

\(\Longrightarrow A = 4\pi (\sqrt{3})^2\)

\(\Longrightarrow A = 4\pi \cdot 3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$A = 12 \pi $}\)


E o volume da esfera é:

\(\Longrightarrow V ={4 \over 3} \pi r^3\)

\(\Longrightarrow V ={4 \over 3} \pi (\sqrt{3})^3\)

\(\Longrightarrow V ={4 \over 3} \pi \cdot 3 \sqrt{3}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ V =4 \sqrt{3}\pi $}\)

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Ellen

Há mais de um mês

Segue um exemplo muito parecido....talvez possa ajudar !!! ;) 

 


Pede-se o centro e o raio de uma esfera que tem a seguinte equação: 

x² + y² + z² + 4x - 6y + z - 1 = 0 

Veja que a equação reduzida de uma esfera, que tenha centro em (xo; yo; zo) e raio = r, é dada por: 

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = r² 

Assim, como a equação da nossa esfera é esta: 

x² + y² + z² + 4x - 6y + z - 1 = 0, vamos, inicialmente, ordenar, ficando assim: 

x²+4x + y²-6y + z²+z - 1 = 0 --- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que o quadrado criou e que não estavam na equação original. Assim: 


(x+2)²-4 + (y-3)²-9 + (z+1/2)²-1/4 - 1 = 0 
(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² - 4 - 9 - 1/4 - 1 = 0 
(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² - 14-1/4 = 0 

Veja que -14-1/4 = (4*(-14)-1)/4 = (-56-1)/4 = (-57/4). Assim, ficamos com: 

(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² - 57/4 = 0. --- colocando (-57/4) para o 2º membro, ficamos com: 
(x+2)² + (y-3)² + (z+1/2)² = 57/4 --- a partir daqui você conclui que: 

O centro é: C(-2; 3; -1/2) 
O raio é: √(57/4) ---- Mas como raiz de (4) = 2. Então: 
O raio é: √(57)/2

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas