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Dificuldade em INTEGRAL - atividade estruturada

AJUDA NA RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS 

 

Necessito de ajuda para resolver as seguintes integrações:

1) ∫ (2x+1) / √(x²-1) dx

2) ∫ (3x-1)/ (x²+9) dx

3) ∫ (2x + 5)/ (x²+2x+5) dx

4) ∫ (8x - 3)/ √(12x - 4x² - 5) dx
 
 
Cálculo IESTÁCIO

7 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

1) Vamos resolver a seguinte integral:

\(I_1=\int{2x+1\over\sqrt{x^2-1}}dx\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_1=\int{2x\over\sqrt{x^2-1}}dx+\int{1\over\sqrt{x^2-1}}dx\)

Para a primeira, façamos \(u = x^2-1\Rightarrow du=2xdx\) e para a segunda, façamos \(x = sec\ \theta\Rightarrow dx = tg\ \theta\ sec\ \theta d\theta\):

\(I_1=\int{1\over\sqrt{u}}du+\int{1\over\sqrt{sec^2\theta-1}}tg\ \theta\ sec\ \theta\ d\theta\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow sec^2\theta-1=tg^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_1=\int{u^{-1/2}}du+\int{1\over tg\ \theta}tg\ \theta\ sec\ \theta\ d\theta=\int{u^{-1/2}}du+\int sec\ \theta\ d\theta\)

Usando a regra do tombo invertida na primeira integral e multiplicando e dividindo a segunda por \(sec\ \theta+tg\ \theta\), temos:

\(I_1=2u^{1/2}+U_0+\int {sec\ \theta(sec\ \theta+tg\ \theta)\over sec\ \theta+tg\ \theta}\ d\theta\)

Voltando a primeira integral para a variável original e fazendo \(v = sec\ \theta+tg\ \theta\Rightarrow dv=sec\ \theta(sec\ \theta+tg\ \theta)d\theta\), temos:

\(I_1=2\sqrt{x^2-1}+\int {dv\over v}\)

Integrando com relação a segunda, temos:

\(I_1=2\sqrt{x^2-1}+\ln v+V_0+U_0\)

Fazendo \(C=U_0+V_0\) e voltando para a variável inicial, temos:

\(I_1=2\sqrt{x^2-1}+\ln (sec\ \theta+tg\ \theta)+C=2\sqrt{x^2-1}+\ln (sec\ \theta+\sqrt{sec^2\theta-1})+C\Rightarrow\boxed{I_1=2\sqrt{x^2-1}+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C}\)

2) Para a segunda integral, temos:

\(I_2=\int{3x-1\over x^2+9}dx\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_2=\int{3x\over x^2+9}dx-\int{1\over x^2+9}dx\)

Para a primeira, façamos \(u = x^2+9\Rightarrow du=2xdx\) e para a segunda, façamos \(x = 3tg\ \theta\Rightarrow dx = 3sec^2\theta d\theta\):

\(I_2={3\over2}\int{du\over u}+\int{3sec^2\theta\ d\theta\over9(tg^2\theta+1)}\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow tg^2\theta+1=sec^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_2={3\over2}\int{du\over u}+\int{3sec^2\theta\ d\theta\over9sec^2\theta}={3\over2}\int{du\over u}+{1\over3}\int d\theta\)

Integrando, temos:

\(I_2={3\over2}\ln u+{1\over3}\theta+C\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{I_2={3\over2}\ln (x^2+9)+{1\over3}arctg{x\over3}+C}\)

3) Para a terceira integral, temos:

\(I_3=\int{2x+5\over x^2+2x+5}dx\)

Reescrevendo o numerador e o denominador, temos:

\(I_3=\int{2x+5\over x^2+2x+1+4}dx=\int{2(x+1)+3\over(x+1)^2+4}dx\)

Fazendo \(y = x+1\Rightarrow dy=dx\), temos:

\(I_3=\int{2y+3\over y^2+4}dy\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_3=\int{2y\over y^2+4}dy+3\int{1\over y^2+4}dy\)

Para a primeira, façamos \(u = y^2+4\Rightarrow du=2ydy\) e para a segunda, façamos \(y = 2tg\ \theta\Rightarrow dy = 2sec^2\theta d\theta\):

\(I_3=\int{du\over u}+\int{2sec^2\theta\ d\theta\over4(tg^2\theta+1)}\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow tg^2\theta+1=sec^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_3=\int{du\over u}+\int{2sec^2\theta\ d\theta\over4sec^2\theta}=\int{du\over u}+{1\over2}\int d\theta\)

Integrando, temos:

\(I_3=\ln u+{1\over2}\theta+C\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{I_3=\ln (x^2+2x+5)+{1\over2}arctg{x+1\over2}+C}\)

4) Para a quarta e última integral, temos:

\(I_4=\int{8x-3\over\sqrt{12x-4x^2-5}}dx\)

Reescrevendo o denominador, temos:

\(I_4=\int{8x-3\over\sqrt{-(4x^2-12x+5)}}dx=\int{8x-3\over\sqrt{4-(4x^2-12x+9)}}dx=\int{4(2x-3)+9\over\sqrt{4-(2x-3)^2}}dx\)

Fazendo \(y = 2x-3\Rightarrow dy=2dx\), temos:

\(I_4={1\over2}\int{4y+9\over\sqrt{4-y^2}}dy\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_4=-\int{-2y\over\sqrt{4-y^2}}dy+{9\over4}\int{2\over\sqrt{4-y^2}}dy\)

Para a primeira, façamos \(u = 4-y^2\Rightarrow du=-2ydy\) e para a segunda, façamos \(x = 2sen\ \theta\Rightarrow dx = 2cos\ \theta d\theta\):

\(I_4=-\int{1\over\sqrt{u}}du+\int{1\over\sqrt{4-4sen^2\theta}}2cos\ \theta d\theta=-\int{1\over\sqrt{u}}du+\int{1\over2\sqrt{1-sen^2\theta}}2cos\ \theta d\theta\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow 1-sen^2\theta=cos^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_4=-\int{u^{-1/2}}du+\int d\theta\)

Usando a regra do tombo invertida , temos:

\(I_4=-2u^{1/2}+\theta+C\)

Voltando para a variável inicial, temos:

\(\boxed{I_4=arcsen{x\over2}-2\sqrt{12x-4x^2-5}+C}\)

1) Vamos resolver a seguinte integral:

\(I_1=\int{2x+1\over\sqrt{x^2-1}}dx\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_1=\int{2x\over\sqrt{x^2-1}}dx+\int{1\over\sqrt{x^2-1}}dx\)

Para a primeira, façamos \(u = x^2-1\Rightarrow du=2xdx\) e para a segunda, façamos \(x = sec\ \theta\Rightarrow dx = tg\ \theta\ sec\ \theta d\theta\):

\(I_1=\int{1\over\sqrt{u}}du+\int{1\over\sqrt{sec^2\theta-1}}tg\ \theta\ sec\ \theta\ d\theta\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow sec^2\theta-1=tg^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_1=\int{u^{-1/2}}du+\int{1\over tg\ \theta}tg\ \theta\ sec\ \theta\ d\theta=\int{u^{-1/2}}du+\int sec\ \theta\ d\theta\)

Usando a regra do tombo invertida na primeira integral e multiplicando e dividindo a segunda por \(sec\ \theta+tg\ \theta\), temos:

\(I_1=2u^{1/2}+U_0+\int {sec\ \theta(sec\ \theta+tg\ \theta)\over sec\ \theta+tg\ \theta}\ d\theta\)

Voltando a primeira integral para a variável original e fazendo \(v = sec\ \theta+tg\ \theta\Rightarrow dv=sec\ \theta(sec\ \theta+tg\ \theta)d\theta\), temos:

\(I_1=2\sqrt{x^2-1}+\int {dv\over v}\)

Integrando com relação a segunda, temos:

\(I_1=2\sqrt{x^2-1}+\ln v+V_0+U_0\)

Fazendo \(C=U_0+V_0\) e voltando para a variável inicial, temos:

\(I_1=2\sqrt{x^2-1}+\ln (sec\ \theta+tg\ \theta)+C=2\sqrt{x^2-1}+\ln (sec\ \theta+\sqrt{sec^2\theta-1})+C\Rightarrow\boxed{I_1=2\sqrt{x^2-1}+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C}\)

2) Para a segunda integral, temos:

\(I_2=\int{3x-1\over x^2+9}dx\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_2=\int{3x\over x^2+9}dx-\int{1\over x^2+9}dx\)

Para a primeira, façamos \(u = x^2+9\Rightarrow du=2xdx\) e para a segunda, façamos \(x = 3tg\ \theta\Rightarrow dx = 3sec^2\theta d\theta\):

\(I_2={3\over2}\int{du\over u}+\int{3sec^2\theta\ d\theta\over9(tg^2\theta+1)}\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow tg^2\theta+1=sec^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_2={3\over2}\int{du\over u}+\int{3sec^2\theta\ d\theta\over9sec^2\theta}={3\over2}\int{du\over u}+{1\over3}\int d\theta\)

Integrando, temos:

\(I_2={3\over2}\ln u+{1\over3}\theta+C\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{I_2={3\over2}\ln (x^2+9)+{1\over3}arctg{x\over3}+C}\)

3) Para a terceira integral, temos:

\(I_3=\int{2x+5\over x^2+2x+5}dx\)

Reescrevendo o numerador e o denominador, temos:

\(I_3=\int{2x+5\over x^2+2x+1+4}dx=\int{2(x+1)+3\over(x+1)^2+4}dx\)

Fazendo \(y = x+1\Rightarrow dy=dx\), temos:

\(I_3=\int{2y+3\over y^2+4}dy\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_3=\int{2y\over y^2+4}dy+3\int{1\over y^2+4}dy\)

Para a primeira, façamos \(u = y^2+4\Rightarrow du=2ydy\) e para a segunda, façamos \(y = 2tg\ \theta\Rightarrow dy = 2sec^2\theta d\theta\):

\(I_3=\int{du\over u}+\int{2sec^2\theta\ d\theta\over4(tg^2\theta+1)}\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow tg^2\theta+1=sec^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_3=\int{du\over u}+\int{2sec^2\theta\ d\theta\over4sec^2\theta}=\int{du\over u}+{1\over2}\int d\theta\)

Integrando, temos:

\(I_3=\ln u+{1\over2}\theta+C\)

Voltando para a variável original, temos:

\(\boxed{I_3=\ln (x^2+2x+5)+{1\over2}arctg{x+1\over2}+C}\)

4) Para a quarta e última integral, temos:

\(I_4=\int{8x-3\over\sqrt{12x-4x^2-5}}dx\)

Reescrevendo o denominador, temos:

\(I_4=\int{8x-3\over\sqrt{-(4x^2-12x+5)}}dx=\int{8x-3\over\sqrt{4-(4x^2-12x+9)}}dx=\int{4(2x-3)+9\over\sqrt{4-(2x-3)^2}}dx\)

Fazendo \(y = 2x-3\Rightarrow dy=2dx\), temos:

\(I_4={1\over2}\int{4y+9\over\sqrt{4-y^2}}dy\)

Reescrevendo como uma soma de integrais, temos:

\(I_4=-\int{-2y\over\sqrt{4-y^2}}dy+{9\over4}\int{2\over\sqrt{4-y^2}}dy\)

Para a primeira, façamos \(u = 4-y^2\Rightarrow du=-2ydy\) e para a segunda, façamos \(x = 2sen\ \theta\Rightarrow dx = 2cos\ \theta d\theta\):

\(I_4=-\int{1\over\sqrt{u}}du+\int{1\over\sqrt{4-4sen^2\theta}}2cos\ \theta d\theta=-\int{1\over\sqrt{u}}du+\int{1\over2\sqrt{1-sen^2\theta}}2cos\ \theta d\theta\)

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

\(sen^2\theta+cos^2\theta=1\Rightarrow 1-sen^2\theta=cos^2\theta\)

Substituindo na integral, temos:

\(I_4=-\int{u^{-1/2}}du+\int d\theta\)

Usando a regra do tombo invertida , temos:

\(I_4=-2u^{1/2}+\theta+C\)

Voltando para a variável inicial, temos:

\(\boxed{I_4=arcsen{x\over2}-2\sqrt{12x-4x^2-5}+C}\)

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Djaldir

Há mais de um mês

entra nesse site:

http://www.wolframalpha.com

faz um cadastro basico e da pra usar completo por 7 dias. Da a resposta e o passo a passo.

bons estudos

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Mario

Há mais de um mês

Veronica eu pensei em reslver usando os caracteres de texto, mas acredito que com essas imagens fique facil para você vizualizar a resolução dos exercicios, espero ter ajudado !!!

 

1)-

Take the integral:\n integral (2 x+1)\/sqrt(x^2-1) dx\nFor the integrand (2 x+1)\/sqrt(x^2-1), substitute x = sec(u) and  dx = tan(u) sec(u)  du. Then sqrt(x^2-1) = sqrt(sec^2(u)-1) = tan(u) and u = sec^(-1)(x):\n  =   integral sec(u) (2 sec(u)+1) du\nExpanding the integrand sec(u) (2 sec(u)+1) gives 2 sec^2(u)+sec(u):\n  =   integral (2 sec^2(u)+sec(u)) du\nIntegrate the sum term by term and factor out constants:\n  =  2 integral sec^2(u) du+ integral sec(u) du\nThe integral of sec^2(u) is tan(u):\n  =  2 tan(u)+ integral sec(u) du\nMultiply numerator and denominator of sec(u) by tan(u)+sec(u):\n  =  2 tan(u)+ integral (sec^2(u)+sec(u) tan(u))\/(sec(u)+tan(u)) du\nFor the integrand (sec^2(u)+sec(u) tan(u))\/(sec(u)+tan(u)), substitute s = tan(u)+sec(u) and  ds = (sec^2(u)+tan(u) sec(u))  du:\n  =   integral 1\/s ds+2 tan(u)\nThe integral of 1\/s is log(s):\n  =  log(s)+2 tan(u)+constant\nSubstitute back for s = sec(u)+tan(u):\n  =  2 tan(u)+log(tan(u)+sec(u))+constant\nSubstitute back for u = sec^(-1)(x):\nAnswer: |  \n |   =  2 sqrt(x^2-1)+log(sqrt(x^2-1)+x)+constant

 

2)-

Take the integral:\n integral (3 x-1)\/(x^2+9) dx\nExpanding the integrand (3 x-1)\/(x^2+9) gives (3 x)\/(x^2+9)-1\/(x^2+9):\n  =   integral ((3 x)\/(x^2+9)-1\/(x^2+9)) dx\nIntegrate the sum term by term and factor out constants:\n  =  3 integral x\/(x^2+9) dx- integral 1\/(x^2+9) dx\nFor the integrand x\/(x^2+9), substitute u = x^2+9 and  du = 2 x  dx:\n  =  3\/2 integral 1\/u du- integral 1\/(x^2+9) dx\nFactor 9 from the denominator:\n  =  3\/2 integral 1\/u du- integral 1\/(9 (x^2\/9+1)) dx\nFactor out constants:\n  =  3\/2 integral 1\/u du-1\/9 integral 1\/(x^2\/9+1) dx\nFor the integrand 1\/(x^2\/9+1), substitute s = x\/3 and  ds = 1\/3  dx:\n  =  3\/2 integral 1\/u du-1\/3 integral 1\/(s^2+1) ds\nThe integral of 1\/(s^2+1) is tan^(-1)(s):\n  =  3\/2 integral 1\/u du-1\/3 tan^(-1)(s)\nThe integral of 1\/u is log(u):\n  =  (3 log(u))\/2-1\/3 tan^(-1)(s)+constant\nSubstitute back for s = x\/3:\n  =  (3 log(u))\/2-1\/3 tan^(-1)(x\/3)+constant\nSubstitute back for u = x^2+9:\nAnswer: |  \n |   =  3\/2 log(x^2+9)-1\/3 tan^(-1)(x\/3)+constant

 

3)-

Take the integral:\n integral (2 x+5)\/(x^2+2 x+5) dx\nRewrite the integrand (2 x+5)\/(x^2+2 x+5) as (2 x+2)\/(x^2+2 x+5)+3\/(x^2+2 x+5):\n  =   integral ((2 x+2)\/(x^2+2 x+5)+3\/(x^2+2 x+5)) dx\nIntegrate the sum term by term and factor out constants:\n  =  3 integral 1\/(x^2+2 x+5) dx+ integral (2 x+2)\/(x^2+2 x+5) dx\nFor the integrand (2 x+2)\/(x^2+2 x+5), substitute u = x^2+2 x+5 and  du = (2 x+2)  dx:\n  =   integral 1\/u du+3 integral 1\/(x^2+2 x+5) dx\nFor the integrand 1\/(x^2+2 x+5), complete the square:\n  =   integral 1\/u du+3 integral 1\/((x+1)^2+4) dx\nFor the integrand 1\/((x+1)^2+4), substitute s = x+1 and  ds =   dx:\n  =  3 integral 1\/(s^2+4) ds+ integral 1\/u du\nFactor 4 from the denominator:\n  =  3 integral 1\/(4 (s^2\/4+1)) ds+ integral 1\/u du\nFactor out constants:\n  =  3\/4 integral 1\/(s^2\/4+1) ds+ integral 1\/u du\nFor the integrand 1\/(s^2\/4+1), substitute p = s\/2 and  dp = 1\/2  ds:\n  =  3\/2 integral 1\/(p^2+1) dp+ integral 1\/u du\nThe integral of 1\/(p^2+1) is tan^(-1)(p):\n  =  3\/2 tan^(-1)(p)+ integral 1\/u du\nThe integral of 1\/u is log(u):\n  =  3\/2 tan^(-1)(p)+log(u)+constant\nSubstitute back for p = s\/2:\n  =  3\/2 tan^(-1)(s\/2)+log(u)+constant\nSubstitute back for s = x+1:\n  =  log(u)+3\/2 tan^(-1)((x+1)\/2)+constant\nSubstitute back for u = x^2+2 x+5:\nAnswer: |  \n |   =  log(x^2+2 x+5)+3\/2 tan^(-1)((x+1)\/2)+constant

 

 

4)-

Take the integral:\n integral (8 x-3)\/sqrt(-4 x^2+12 x-5) dx\nFor the integrand (8 x-3)\/sqrt(-4 x^2+12 x-5), complete the square:\n  =   integral (8 x-3)\/sqrt(4-(2 x-3)^2) dx\nFor the integrand (8 x-3)\/sqrt(4-(2 x-3)^2), substitute u = 2 x-3 and  du = 2  dx:\n  =  1\/2 integral (4 u+9)\/sqrt(4-u^2) du\nFor the integrand (4 u+9)\/sqrt(4-u^2), substitute u = 2 sin(s) and  du = 2 cos(s)  ds. Then sqrt(4-u^2) = sqrt(4-4 sin^2(s)) = 2 cos(s) and s = sin^(-1)(u\/2):\n  =  1\/2 integral (8 sin(s)+9) ds\nIntegrate the sum term by term and factor out constants:\n  =  9\/2 integral 1 ds+4 integral sin(s) ds\nThe integral of 1 is s:\n  =  (9 s)\/2+4 integral sin(s) ds\nThe integral of sin(s) is -cos(s):\n  =  (9 s)\/2-4 cos(s)+constant\nSubstitute back for s = sin^(-1)(u\/2):\n  =  9\/2 sin^(-1)(u\/2)-2 sqrt(4-u^2)+constant\nSubstitute back for u = 2 x-3:\nAnswer: |  \n |   =  -2 sqrt(-4 x^2+12 x-5)-9\/2 sin^(-1)(3\/2-x)+constant

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Leonardo

Há mais de um mês

Para a a: 2√(x² - 1) + ln(√(x² - 1) + x) + c

Amanhã eu faço o resto para você. Sai de duas provas agora.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas