Quadricas

Nesse exercício vamos estudar cônicas.

O exercício pede que estudemos as cônicas em planos paralelos aos eixos coordenados, ou seja, em planos em que uma das coordenadas seja constante.

Vamos começar por $z=z_0$ constante:

$$2x^2-y^2 + 4z_0^2=1\Rightarrow 2x^2-y^2=1-4z_0^2$$

Para $1-4z_0^2=0\Rightarrow z_0\in\left\{\pm\dfrac12\right\}$ temos um par de retas:

$$y=\pm x\sqrt2$$

que não tem distância focal e, portanto, deve ser excluído de nossos resultados. Como o lado direito é não nulo, podemos dividir a equação por $1-4z_0^2$:

$$\dfrac{x^2}{\frac{1-4z_0^2}2}-\dfrac{y^2}{1-4z_0^2}=1$$

Temos uma hipérbole cuja distância focal é dada por:

$$2c=2\sqrt{\frac{1-4z_0^2}2+\left(1-4z_0^2\right)}=\sqrt{6\left(1-4z_0^2\right)}$$

Mas queremos distância focal $\sqrt6$:

$$\sqrt{6\left(1-4z_0^2\right)}=\sqrt6\Rightarrow 1-4z_0^2=1\Rightarrow z_0=0$$

Ou em forma de equação do plano:

$$z=0$$

A seguir vamos para por $x=x_0$ constante:

$$2x_0^2-y^2 + 4z^2=1\Rightarrow 4z^2-y^2=1-2x_0^2$$

Para $1-2x_0^2=0\Rightarrow x_0\in\left\{\pm\dfrac1{\sqrt2}\right\}$ temos um par de retas:

$$y=\pm 2z$$

que não tem distância focal e, portanto, deve ser excluído de nossos resultados. Como o lado direito é não nulo, podemos dividir a equação por $1-2x_0^2$:

$$\dfrac{z^2}{\frac{1-2x_0^2}4}-\dfrac{y^2}{1-2x_0^2}=1$$

Temos uma hipérbole cuja distância focal é dada por:

$$2c=2\sqrt{\frac{1-2x_0^2}4+\left(1-2x_0^2\right)}=\sqrt{5\left(1-2x_0^2\right)}$$

Mas queremos distância focal $\sqrt6$:

$$\sqrt{5\left(1-2x_0^2\right)}=\sqrt6\Rightarrow x_0=\pm\dfrac1{\sqrt{10}}$$

Ou em forma de equações dos planos:

$$x=\pm\dfrac1{\sqrt{10}}$$

Por último vamos para por $y=y_0$ constante:

$$2x^2-y_0^2 + 4z^2=1\Rightarrow 2x^2+4z^2=1+y_0^2$$

Para $1+y_0^2$ é sempre positivo. Como o lado direito é não nulo, podemos dividir a equação por $1+y_0^2$:

$$\dfrac{x^2}{\frac{1+y_0^2}2}+\dfrac{z^2}{\frac{1+y_0^2}4}=1$$

Temos uma elipse cuja distância focal é dada por:

$$2c=2\sqrt{\frac{1+y_0^2}2+\frac{1+y_0^2}4}=\sqrt{3\left(1+y_0^2\right)}$$

Mas queremos distância focal $\sqrt6$:

$$\sqrt{3\left(1+y_0^2\right)}=\sqrt6\Rightarrow y_0=\pm1$$

Ou em forma de equações dos planos:

$$y=\pm1$$

Resumindo, os planos paralelos aos planos coordenados cuja intersecção com S formam uma cônica de distância focal $\sqrt6$ são:

$$\boxed{\left\{x=\pm\dfrac1{\sqrt{10}};y=\pm1;z=0\right\}}$$

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Nesse exercício vamos estudar cônicas.

O exercício pede que estudemos as cônicas em planos paralelos aos eixos coordenados, ou seja, em planos em que uma das coordenadas seja constante.

Vamos começar por $z=z_0$ constante:

$$2x^2-y^2 + 4z_0^2=1Rightarrow 2x^2-y^2=1-4z_0^2$$

Para $1-4z_0^2=0Rightarrow z_0inleft{pmdfrac12 ight}$ temos um par de retas:

$$y=pm xsqrt2$$

que não tem distância focal e, portanto, deve ser excluído de nossos resultados. Como o lado direito é não nulo, podemos dividir a equação por $1-4z_0^2$:

$$dfrac{x^2}{rac{1-4z_0^2}2}-dfrac{y^2}{1-4z_0^2}=1$$

Temos uma hipérbole cuja distância focal é dada por:

$$2c=2sqrt{rac{1-4z_0^2}2+left(1-4z_0^2 ight)}=sqrt{6left(1-4z_0^2 ight)}$$

Mas queremos distância focal $sqrt6$:

$$sqrt{6left(1-4z_0^2 ight)}=sqrt6Rightarrow 1-4z_0^2=1Rightarrow z_0=0$$

Ou em forma de equação do plano:

$$z=0$$

A seguir vamos para por $x=x_0$ constante:

$$2x_0^2-y^2 + 4z^2=1Rightarrow 4z^2-y^2=1-2x_0^2$$

Para $1-2x_0^2=0Rightarrow x_0inleft{pmdfrac1{sqrt2} ight}$ temos um par de retas:

$$y=pm 2z$$

que não tem distância focal e, portanto, deve ser excluído de nossos resultados. Como o lado direito é não nulo, podemos dividir a equação por $1-2x_0^2$:

$$dfrac{z^2}{rac{1-2x_0^2}4}-dfrac{y^2}{1-2x_0^2}=1$$

Temos uma hipérbole cuja distância focal é dada por:

$$2c=2sqrt{rac{1-2x_0^2}4+left(1-2x_0^2 ight)}=sqrt{5left(1-2x_0^2 ight)}$$

Mas queremos distância focal $sqrt6$:

$$sqrt{5left(1-2x_0^2 ight)}=sqrt6Rightarrow x_0=pmdfrac1{sqrt{10}}$$

Ou em forma de equações dos planos:

$$x=pmdfrac1{sqrt{10}}$$

Por último vamos para por $y=y_0$ constante:

$$2x^2-y_0^2 + 4z^2=1Rightarrow 2x^2+4z^2=1+y_0^2$$

Para $1+y_0^2$ é sempre positivo. Como o lado direito é não nulo, podemos dividir a equação por $1+y_0^2$:

$$dfrac{x^2}{rac{1+y_0^2}2}+dfrac{z^2}{rac{1+y_0^2}4}=1$$

Temos uma elipse cuja distância focal é dada por:

$$2c=2sqrt{rac{1+y_0^2}2+rac{1+y_0^2}4}=sqrt{3left(1+y_0^2 ight)}$$

Mas queremos distância focal $sqrt6$:

$$sqrt{3left(1+y_0^2 ight)}=sqrt6Rightarrow y_0=pm1$$

Ou em forma de equações dos planos:

$$y=pm1$$

Resumindo, os planos paralelos aos planos coordenados cuja intersecção com S formam uma cônica de distância focal $sqrt6$ são:

$$oxed{left{x=pmdfrac1{sqrt{10}};y=pm1;z=0 ight}}$$