Exercício de Derivadas

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Podemos calcular a inclinação média de uma função em um intervalo, isto é, a derivada média por:

\(\left\langle{df\over dx}\right\rangle={\Delta f\over\Delta x}\)

Vamos calcular tal média para o intervalo \([0;1]\):

\(\left\langle{df\over dx}\right\rangle_1={f(1)-f(0)\over1-0}={2-0\over1-0}=2\)

Pelo Teorema do Valor médio, existe \(0\leq x_1\leq 1\) tal que:

\(\left\langle{df\over dx}\right\rangle_1=\left.{df\over dx}\right\vert_{x=x_1}\)

Agora a mesma média para o intervalo \([1;2]\):

\(\left\langle{df\over dx}\right\rangle_2={f(2)-f(1)\over2-1}={4-2\over2-1}=2\)

Pelo Teorema do Valor médio, existe \(1\leq x_2\leq 2\) tal que:

\(\left\langle{df\over dx}\right\rangle_2=\left.{df\over dx}\right\vert_{x=x_2}\)

Para a segunda derivada média, temos:

\(\left\langle{d^2f\over dx^2}\right\rangle={\left.{df\over dx}\right\vert_{x=x_2}-\left.{df\over dx}\right\vert_{x=x_1}\over x_2-x_1}={2-2\over x_2-x_1}=0\)

Pelo Teorema do Valor médio, existe \(0\leq x_1\leq c\leq x_2\leq 2\) tal que:

\(\boxed{\left\langle{d^2f\over dx^2}\right\rangle=\left.{d^2f\over dx^2}\right\vert_{x=c}}\)