Vetores de IR3

A) Projeção Orogonal é dada pela Formula.( u.v / ||v||² ) x v ( U interno V sobre norma de v ao quadrado, isso tudo vezes v.

Foram utilizados conhecimentos em álgebra linear e geometria analítica para resolver essa questão.

(a) Primeiramente, precisamos resolver a seguinte equação:

Substituindo os vetores u e v temos:

Resolvemos o produto escalar e o módulo do vetor

Solucionamos os termos do parênteses, e ficamos com 

Daí, a projeção do vetor u sobre o vetor v é dada por 

(b) Podemos calcular a distância entre os dois vetores através da fórmula, e sabendo que a distância entre vetores é igual a norma do vetor diferença

Daí, temos que a distância será dada por

Portanto, podemos inferir que a distância entre os vetores é de  .

(c) Seja w um vetor do subespaço gerado por u e v, temos que

 Resolvendo a igualdade, chegamos ao seguinte sistema de equações lineares

 Desenvolvendo o sistema chegamos á seguinte solução:

Daí, o subespaço vetorial gerado pelos dois vetores é : 

(d) Para calcular uma base ortogonal para S, é necessário que a mesma gere todos os elementos do subespaço e os vetores sejam linearmente independente. Como os vetores u e v são linearmente dependentes, eles não podem representar uma base deste subespaço.

Desta forma, podemos dizer que uma base para este subespaço são dois vetores perpendiculares que são gerados neste subespaço.

Os vetores deste subespaço são do tipo  , fazendo  ,   e   , geraremos dois vetores

Agora devemos verificar se estes vetores são linearmente independentes, ou seja, produto escalar igual a zero.

Daí, uma base possível para o subespaço é  .

(e) O esboço do subespaço gerado é :

Álgebra Linear, L.Boldrini, José Luis, 2010

Foram utilizados conhecimentos em álgebra linear e geometria analítica para resolver essa questão.

(a) Primeiramente, precisamos resolver a seguinte equação:

Substituindo os vetores u e v temos:

Resolvemos o produto escalar e o módulo do vetor

Solucionamos os termos do parênteses, e ficamos com

Daí, a projeção do vetor u sobre o vetor v é dada por

(b) Podemos calcular a distância entre os dois vetores através da fórmula, e sabendo que a distância entre vetores é igual a norma do vetor diferença

Daí, temos que a distância será dada por

Portanto, podemos inferir que a distância entre os vetores é de .

(c) Seja w um vetor do subespaço gerado por u e v, temos que

Resolvendo a igualdade, chegamos ao seguinte sistema de equações lineares

Desenvolvendo o sistema chegamos à seguinte solução:

Daí, o subespaço vetorial gerado pelos dois vetores é :

(d) Para calcular uma base ortogonal para S, é necessário que a mesma gere todos os elementos do subespaço e os vetores sejam linearmente independente. Como os vetores u e v são linearmente dependentes, eles não podem representar uma base deste subespaço.

Desta forma, podemos dizer que uma base para este subespaço são dois vetores perpendiculares que são gerados neste subespaço.

Os vetores deste subespaço são do tipo , fazendo , e , geraremos dois vetores

Agora devemos verificar se estes vetores são linearmente independentes, ou seja, produto escalar igual a zero.

Daí, uma base possível para o subespaço é .

(e) O esboço do subespaço gerado é :

Álgebra Linear, L.Boldrini, José Luis, 2010