questao de analise combinatoria: se 12 bolas são lançadas em 20 cestas, qual a probabilidade de nenhuma cesta receber mais de uma bola?

Nessa questão, devemos por em prática nossos conhecimentos de probabilidade e raciocínio lógico.

De acordo com o enunciado, vamos considerar que uma bola lançada sempre caia em uma cesta, isto é, que nenhuma bola caia fora de todas as cestas.

Queremos que nenhuma cesta receba mais que uma bola, logo, quando vamos lançar a primeira, ela pode cair em qualquer uma das \(20 \) cestas, ou seja, há \(20\) possíveis lugares; ao mesmo tempo, qualquer um destes serve, ou seja, a probabilidade de ocorrer o que queremos para esta bola é de \(20/20\).

Quando lançamos a segunda bola, ela continua tendo \(20\) cestas onde pode cair, mas agora queremos que ela caia em uma cesta que ainda não tenha bolas, ou seja, todas menos a que recebeu a primeira bola: \(19\) cestas. Assim, a probabilidade de ocorrer o que queremos para esta bola é de \(19/20\).

Quando lançamos a terceira bola, ela continua tendo \(20\) cestas onde pode cair, mas agora queremos que ela caia em uma cesta que ainda não tenha bolas, ou seja, todas menos as duas que receberam a primeira e a segunda bola: \(18\) cestas. Assim, a probabilidade de ocorrer o que queremos para esta bola é de \(18/20\).

Repetimos este processo para as outras nove bolas, de modo que a probabilidade \(P\) de nenhuma cesta receber mais de uma bola será a de ocorrerem todos os oventos em questão. Por isso, vamos multiplicar tais probabilidades:

\(P = \dfrac{20}{20} * \dfrac{19}{20} * \dfrac{18}{20} * \dfrac{17}{20} * \dfrac{16}{20} * \dfrac{15}{20} * \dfrac{13}{20} * \dfrac{12}{20} * \dfrac{11}{20} * \dfrac{10}{20} * \dfrac{9}{20} * \dfrac{8}{20} = \dfrac{60.339.831.552.000}{20^{12}}=\dfrac{60.339.831.552.000}{4.096.000.000.000.000.000}\\ P \approx 0,0147 = 1,47 \%\)

Assim, a probabilidade de nenhuma cesta receber mais de uma bola é de, aproximadamente, \(\boxed{0,0147}\), ou seja, \(\boxed{1,47\%}\).