O que é derivação implícita?

É uma técnica de derivação. É necessária qaundo a variavél y não está escrita diretamente em termos da variavel x.

Exemplo, equação do tipo: x²+y²= 1, observe que y não está em função de x. 

Exemplo de equação implicita e explicita:

x²+y²= 1, aqui é implicita pois y não esta em função de x. Por tanto, deve-se aplicar a técnica de derivação implicita. 

y=x²-1, aqui a função é explicita pois y esta em função da variável x, podendo ser derivada normalmente.

abçs.

Segue em anexo um link para o vídeo do youtube de ótima videoaula do site "mesalva.com" sobre derivada implícita com exemplos > http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=XHjRf2Mped8

A diferenciação implícita nada mais é do que um caso especial da regra da cadeia bem conhecida para derivativos. A maioria dos problemas de diferenciação no cálculo do primeiro ano envolve funções escritas explicitamente como funções de x.

Exemplo:

\(\[\begin{align} & y=3{{x}^{2}}-sen(7x+5) \\ & \text{A derivada y ser }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ :} \\ & y'=6x-7\cos (7x+5) \\ & \\ & \\ \end{align}\] \)

No entanto, algumas funções são escritas implicitamente como funções de x. Um exemplo familiar disso é a equação: 

\(\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\text{ }25\text{ }\]\)

Uma maneira simples de resolução é resolver y em função de x:

\(\[\begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\text{ }25\text{ },\text{ } \\ & {{y}^{2}}=\text{ }25\text{ }-{{x}^{2}} \\ & y=\pm \sqrt{25-{{x}^{2}}} \\ & y=-\sqrt{25-{{x}^{2}}} \\ & \text{A derivada }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ :} \\ & {y}'=-(1/2){{(25-{{x}^{2}})}^{-1/2}}(-2x)=\frac{x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}} \\ \end{align}\] \)