Alguem ajuda . Se a reta tangente a y=f(x) em (4,3) passar pelo p onto (0,2), encontre f(4) e f′(4).

Uma reta ser tangente em \((4,3)\) significa que esse ponto faz parte dela. 

A equação de uma reta é dada por : \(y-y0=m(x-x0)\) em que m é o coeficiente angular e pode ser calculado por:

\(m=\frac{y-y0}{x-x0}\)

Usando os valores dados no enunciado, temos:

\(m=\frac{2-3}{0-4}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}\)

Substituindo esse valor na equação da reta, assim como o ponto \(x0=4\) e \(y0=3\), temos:

\(y-y0=m(x-x0)\\ y-3=(x-4)\\ y=(x-4)+3\)

Como \(y=f(x)\), para encontrar \(f(4) \)basta substituir o \(4\) na última equação

\(y=\frac{1}4(4-4)+3 = 3\)

Para encontrar a derivada no ponto \(x=4\), ou seja, \(f'(4)\), vamos derivar a equação encontrada

\(y=\frac{1}4(x-4)+3\\ f'=y=\frac{1}4(x-4)+3\\ y = \frac{1}4\)

Como a equação é uma reta, ou seja, possui apenas a variável x, a derivada de qualquer número será sempre \(\frac{1}{4}\)como foi constatado acima.

Portanto,\(\boxed{f(4)=4} \) e \(\boxed{f'(4) = \frac{1}4}\).

x...y...1
4...3...1
0...2...1

3x + 8 + 0 - 0 - 4y - 2x = 0
3x - 2x - 4y = 0
x - 4y = 0
4y = x
y = x/4
f(x) = x/4
f(4) = 4/4 --> f(4) = 1

y = x/4
x = y/4
y = 4x
f'(x) = 4x
f'(4) = 4.4
f'(4) = 16