Sejam as retas r.3x-2y+raiz5=0 e s:-x+4y+raiz2=0 podemos afirmar que o menor angulo formado entre as retas r e s é aproximadamente. -27,891° -42,274°

ddaa

Neste exercício, será calculado o menor ângulo entre duas dadas retas.

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \mbox{r: } \space 3x-2y+ \sqrt 5=0 \\ \mbox{s: } \space -x+4y+\sqrt 2=0 \end{matrix} \right.\)

Sabe-se que, para uma reta com função \(ax+by+k=0\), o vetor diretor correspondente é \(\overrightarrow u=(-b,a)\). Portanto, para as retas \(r\) e \(s\), o vetores diretores correspondentes são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \overrightarrow {u_r}=(-b_r,a_r) \\ \overrightarrow {u_s}=(-b_s,a_s) \end{matrix} \right.\)

Portanto, sendo \(a_r= 3\), \(b_r= -2\), \(a_s= -1\), \(b_s=4\), os vetores \(\overrightarrow {u_r}\) e \(\overrightarrow {u_s}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \overrightarrow {u_r}=(2,3) \\ \overrightarrow {u_s}=(-4,-1) \end{matrix} \right.\)

Os módulos de cada vetor são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} |\overrightarrow {u_r}|=\sqrt{2^2+3^2} \\ |\overrightarrow {u_s}|=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2} \end{matrix} \right.\)   \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} |\overrightarrow {u_r}|=\sqrt{13} \\ |\overrightarrow {u_s}|=\sqrt{17} \end{matrix} \right.\)

Conhecendo os vetores diretores das retas, o produto escalar resultante é:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {u_r} \cdot \overrightarrow {u_s} = (2,3)\cdot (-4,-1)\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow {u_r} \cdot \overrightarrow {u_s} = 2 \cdot(-4)+3 \cdot (-1)\)

\(\Longrightarrow \overrightarrow {u_r} \cdot \overrightarrow {u_s} = -11\)

O produto escalar também pode ser definido pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow \overrightarrow {u_r} \cdot \overrightarrow {u_s} = |\overrightarrow {u_r}| \cdot |\overrightarrow {u_s}|\cdot \cos \alpha\)

Através das equações anteriores, o valor de \(\alpha\) é:

\(\Longrightarrow \cos \alpha = { \overrightarrow {u_r} \cdot \overrightarrow {u_s} \over |\overrightarrow {u_r}| \cdot |\overrightarrow {u_s}|}\)

\(\Longrightarrow \cos \alpha = { -11 \over \sqrt{13} \sqrt{17}}\)

\(\Longrightarrow \alpha = \arccos(-0,74)\)

\(\Longrightarrow \alpha = 137,726^{\circ}\)

Porém, o exercício pede o menor ângulo entre as retas \(r\) e \(s\). Portanto, esse valor é:

\(\Longrightarrow \alpha^{'} = \alpha - 180^{\circ}\)

\(\Longrightarrow \alpha^{'} = -137,726^{\circ} + 180^{\circ}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \alpha^{'} = -42,274^{\circ} $}\)