Determine a integral dupla em coordenada polar de 0 ≤ θ ≤ π2 ; 0 ≤ r ≤ 2senθ e f(r,θ) = cosθ

z

Para resolver esse exercício vamos usar o conceito de integral dupla e o teorema de Fubini.

A integral que queremos calcular é :

\(\iint_D \cos \theta dA\)

Onde \(D\) é a região delimitada por \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) e \(0 \leq r \leq 2sen \theta\), e \(dA=rdrd\theta\) é o diferencial de área.

Pelo teorema de Fubini podemos resolver essa integral como uma integral iterada:

\(I=\int_0^{ \frac{\pi}{2}} (\int_0^{2sen \theta} rdr)d\theta\)

\(I=\frac{1}{2}\int_0^{ \frac{\pi}{2}} ( r^2)_0^{2sen \theta}d\theta\)

\(I=\frac{1}{2}\int_0^{ \frac{\pi}{2}} ( 4sen^2 \theta)d\theta\)

\(I=(x-sen(x)\cos(x))_0^{ \frac{\pi}{2}} \)

\(I=\frac{\pi}{2}\)

OBS: se a intenção era colocar o limite superior de integração de \(\theta\) como sendo \(2\pi\) o procedimento seria o mesmo, mas a resposta final seria \(I=2\pi\)