Qual é o lugar geométrico dos pontos que equidistante de A=(1,0,0) e B=(-1,1,0) e também de C=(0,2,0) e D=(0,0,0)? Descreva- o por meio de equações.

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Pela fórmula de distância euclidiana, a primeira condição é a seguinte:

\(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2} \\ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 \\ 2y - 4x - 1 = 0\)

E a segunda condição, analogamente:

\((x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 0)^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 \\ -4y + 4 = 0\)

Como as duas condições devem ser satisfeitas, teremos o seguinte sistema:

\(\begin{cases} 2y - 4x - 1 = 0 \\ -4y + 4 = 0 \end{cases}\)

Da segunda equação, teremos:

\(y = 2\)

E substituindo esse valor na primeira equação, obtemos:

\(x = \frac{3}{4}\)

Logo, o lugar geométrico é um único ponto (3/4, 2).